Question

Mathematica

写真の関数を積分したいのですが、
式変形をしてみて出てきた式の積分方法が分かりません。

√(x^2+x+1)/(x+1) の積分はどうすれば解けますか。

解答は3枚目のようになっていました。

1
x+Vx2+x+1

ッズーズ
Jx2+x+1
x+1

3
(8) 21og | x+Vx?+x+1|--
log |2x+1+2V+x+1|
2
3
1
x
2 2x+1+2<x2+x+1
(9) xtan
2

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Crystal Clear

√の中を平方完成して
t=x+1/2
そのあとよくあるtanの置換
これで
1/(sin)(1+sin)(1-sin)
で部分分数分解して
あとは
1/sin, 1/(1+sin), 1/(1-sin)の積分
これは調べればできる。

最後に解答にある形に変形するのは面倒くさそう。
√(1+t^2)
の積分はいろいろな置換の方法があるからそれでもいいと思う。

Mathematica

ご回答ありがとうございます!

平方完成をして解く方法は知りませんでした。
この問題以外にも平方完成して解くような問題が合ったので、勉強になりました。
ありがとうございますm(__)m

Crystal Clear

あ、すみません。
今見直したら計算が間違えていました。

Crystal Clear

u=t+√(t^2+3/4)
と置換するのがいいのか？
少なくともこれで多項式/多項式の形になって、原理的には原始関数が求まるので、あとは計算機にやってもらうか。

なんか簡単になるような置換などがあるかもしれませんが、よくわかりません。