Question

にしうむ

3.2の問題のところで分からず解説を見たのですが、特に(2)のλ=2のときの「3行目よりc2とおける.」のところとa=3のときの解説全体が理解できず困っています
分かる方おられましたらよろしくお願いいたします

点をす
を満たす、こを求めよ。
3.2 aを実数とする。 3次の正方行列
0 01
に対
A=
5-a
2
a-4
-2 0 3
2)
に対し、以下の問いに答えよ.
(1) Aの固有値をすべて求めよ.
(2) Aの各固有値に対応する固有ベクトルをそれぞれ求めよ、
(3) Aが対角化可能であるための aの条件を求めよ。
?スマー
をして
3.3 以下の問いに答えよ。

()より
a=1のとき,()
5a-30
a+12
35
25
a=-1のとき、()
0
1
5-a2-Aaー4
-2
0
3-入
= -A(2- ) (3 -)) + 2(2-) = 0
より、(2-A)(A-3入+2) = -(入-2)?(入-1) = 0
から、固有値は入=D 1,2 (重解)
(2) 入=1のときの固有ベクトルは, 連立方程式
=eを解けばよい。
Az
-1 0 1
-1 0
5-a 1 aー4
000
1
5-ala-4
-2 0 2
3)
①×2
-101
②+①x(5-a)
011
000
ゆえに,z= c1 とおくと2行目よりy=-C1, 1 行
目よりェ=z= C1 となる.これより, 入=1のと
きの固有ベクトルは
(土) ()¥0)
C1
入=2のときののときの固有ベクトルは, 連立方程
式 Ac = 2c を解けばよい。
-2 0 1
5-a 0a-4
-2 0 1
-2 0 1
3-a 0a13
000
3
の+①
-201
a子3
の-(a-3)
-101
000
D→の×(-1)
000
10
2+D×2
00 0

て、おは正則で
のときの固有ベクトルは aチ3のとき,
|A- AE
)(c2 40)
を解く。
|A- AE
C2
AP) () a=3のとき, ( o00)なので3行目よりz%=D2c.
000
2行目より y=C3 とおくと, 1行目より c=caと
なる。これより a=3のとき入=2のときの固有べ
クトルは
= (3- 入)
(3- 入)
123
010
132
)) ) +() (ca+0あるいはca#0)
C2
+ C3
= (2 - 入
ニ
(3) 対角化可能であるためには, 1次独立な固有
ベクトルが3つ必要なので a =3
3.3 (1) Ack
= (入-2
から、固有値
号同順)
が奇数のと
a6C,(a」
ニ
k チ 0,

固有値 行列 固有ベクトル