Question

あめ

x(n+1)=f(n,x(n))のゼロ解x=0は、一様吸引[UA]であるとは、あるη>0が存在し、任意の微小なε>0に対し、十分大きなT=T(ε)>0をとれば、任意の初期時間n_0 ∈Z_+と任意の初期値ξ ∈R^m:||ξ||<ηに関し、初期条件x(n_0)=ξを満たす解x(n)=x(n;n_0,ξ)(n ∈Z_+)は、||x(n)||<εを満たす時に言う

とはどういう事でしょうか？

一様漸近安定性 一様吸引

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Tak

私はここら辺については無知ですが、式から言いたいことはなんとなく推測できたので、何か理解に役立てればと思います。

まず、定義でT=T(ε)を取ってるのに後半出てきていないので、おそらく
||x(n)|| < ε
の部分に (n ≧ T(ε)) があるのだと推測してお応えします。

今、ゼロ解が一様吸引ということを定義していますので、一様と吸引で分解して考えてみます。

吸引とはゼロ解が他の解に何らかの意味で吸収しているということだと思います。
これは、最後の不等式において、
||x(n)|| = ||x(n) - 0||
とみなせば、x(n) はゼロ解に漸近的に等しくなりますので、吸引していると考えられるのではないでしょうか。

次に一様について考えます。
これはどんな初期値の解がゼロ解に吸収しているかを考えればわかると思います。
今、初期値として ξ を ||ξ|| < η であれば、ゼロ解に吸収できるという性質を考えています。
このηでおさえるということが、一様の部分になると思います。

つまり、ξ のノルムが η で一様におさえられていれば、ξ を初期値にもつ解 x(n) はゼロ解に吸引されるということで、 一様吸引を定義しているのだと思います。

Tak

わからないところがあればお応えしますね。

Tak

吸引と安定の大きな違いは、吸引は漸近的にゼロ解に落ち着くのに対して、安定は初期値からずっとゼロ解の近くに留まっている、ということですかね。

Tak

例えば、y=1/xのようなイメージでしょうか。

xが十分大のとき、ゼロに非常に近くなるイメージですかね。

Tak

厳密に一様吸引の様子を図示するには3次元空間となりますので、グラフ描画のツールなどで図示してみるのがいいと思いますよ。