Question

なこ

この問題の解説をお願い致します🙇‍♀️

関数f(x)が区間[a,b]で f'(x)20 を満たすとき,「ず(x) dx2 T(x) dx が成り立つこと
a+b
cb
2
を示せ。
く愛知教育大>

Answer 1

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Crystal Clear

c=(a+b)/2とする
左辺-右辺
=∫[a,b](x-c)f(x)dx
=∫[a,c](x-c)f(x)dx+∫[c,b](x-c)f(x)dx　①

a≦x≦cで
f(x)≦f(c) (f'(x)≧0だから)
両辺にx-c≦0をかけて
(x-c)f(x)≧(x-c)f(c)
∫[a,c](x-c)f(x)dx≧∫[a,c](x-c)f(c)dx

c≦x≦bで
f(c)≦f(x) (f'(x)≧0だから)
両辺にx-c≧0をかけて
(x-c)f(x)≧(x-c)f(c)
∫[c,b](x-c)f(x)dx≧∫[c,b](x-c)f(c)dx

よって
①
≧∫[a,c](x-c)f(c)dx+∫[c,b](x-c)f(c)dx
=∫[a,b](x-c)f(c)dx
=[(1/2)(x-c)^2 f(c)]
=0

なこ

とても理解する事ができました！！
御丁寧に本当にありがとうございます！