-6. an+1 - pan Tq +
(n= 1, 2, 3, )で定められる数列 {a,}について
= 1,q=4, r=-2 のときを考える。
p
lan} の階差数列の一般項は ア|n-イであるから,数列 {am} の一般項 a, をnの式で表すと,
出 る
ウ
n°
エ
オ]となる。
カ= 3, q=0, r=6 のときを考える。
n+
与えられた漸化式は an+1 +カコ=
比ケ」の等比数列である。
このことから,数列 {an}の一般項 an をn の式で表すと,an =
p=2, q= -2, r=2 のときを考える。
42, as, aa の値を順に求めると,a2 =
よって,ai = 2+4, a2 = 4+ テ
キ」(an+カ
と変形できるから,数列 {a, +カ
は,初項
ク
公
サ」
シ]となる。
スセ
as =ソタ」, a, =|チツである。
as =6+|トナ
d,=8+ニヌとなるから,数列 {a,}の一般項は
|ネ]n+ノ
①は n=1 のとき a = 6 を満たす。また, n=kのとき①が成り立つと仮定すると
n+ 八」
…0 と推定できる。これを数学的帰納法を用いて証明してみよう。
ax+1 = 2ak-2k+2=2(ネ]を+ノ
これは n=k+1 のときも①が成り立つことを示している。
したがって,数列 {an} の一般項は an =
+|へ
')-2k+2=D ヒ」(k+フ])+
Fロ=
である。
n+ハ
| ネn+ノ*
000 のケま る 味六
解答
(a)a
0eI=
10(+3)
(1) p= 1, q=4, r=-2 のとき
bI=
an+1TanF 4n-2
an+1 = an + 4n-2
数列 {an}の階差数列 {an+1 - Qn} の一般項は
よって,{an} の一般項は, n>2のとき
S
an = a,+2(4k-2) = 6+4 k-2 1
n-1
なー」
Key 1
2k=
;n(n+1) のnを
k=1
k=1
k=1
2 。
n-1に置き換えて
1
=6+4·(n-1)n-2(n-1) == 2n°-4n+8
2
k
an = 2n°-4n+8
2184
an+1 = 3an+6
k=1
これは n=1のときも成り立つから
(2) カ= 3, q= 0, r=6のとき
特性方程式 α= 3α+6 を解いて
同様にして,21=n より
I-"8
α = -3
21=n-1
T
よって, 漸化式は an+1 +3 = 3(an+3) と変形できる。並 書多真谷
ゆえに,数列 {an+3} は初項 a,+3=9,公比3の等比数列であるから
an = 3"+1_3
Key 2
(3) 三
* ES I8 SS
an+3=9·3"-1 _ 374+1 より
(3) カ=2, q= -2, r=2のときan+1= 2a-2n+2自さ余I3
a, = 2a,-2:1+2=2·6=2+2= 12 ケト 有漸化式にn=1, 2, 3, 4 を順
n=1 を代入して
に代入する。
as = 2a2-2-2+2=2·12-4+2= 22目番
n=2 を代入して
a, = 2as-2.3+2=2·22-6+2=40!味ま
です
n=3 を代入して
よって
a,=6=2+4=2·1+2°,
as = 22 = 6+16 =2·3+2", a, = 40 =8+32=2·4+2° a+8
a2 = 12 = 4+8=2·2+2°
ゆえに, 数列 {an} の一般項は an = 2n+2"*1 ① と推定できる。
のは n=1 のとき a, =6 を満たす。
また, n=kのとき①が成り立つと仮定するとg(8-nb)- 数学的帰納法を用いて, ①
ak+1 = 2ax-2k+2=2(2k+2*+1) -2k+2=2(k+1)+2*+2
これは n=k+1 のときも①が成り立つことを示している。
したがって, 数列 {am} の一般項は
正しいことを証明する。
an = 2n+2"+! a+"8(8-n)1
T血+どb。(n22) とせよ >*o49 (p205) 0
rOm )
攻略のカギ!
n-1
n = kのとき①が成り立つことを仮定するとa_k = 2k + 2^k + 1とおける。
n = k+1のとき
a_k+1 = 2a_k - 2k + 2
=2(2k + 2^k + 1) - 2k + 2
=…