まず√(140n/9)が整数になるということは、140n/9がある整数の２乗で表せる数だということです。
なのでこの問題は「140/9に何をかけたら√が外せますか？また、そのかける数で最も小さい数は何ですか」と言い換えることができます。
とは言えn=1、n=2、n=3 ... と１つずつ当てはめていては時間がかかってしまいます。工夫が必要です。
まず分母が邪魔なので、ｎは９の倍数であることを条件としましょう。
分母は9で、これは3の２乗なのでなので140nさえ√を外せれば140n/9から完全に√を取り外すことは可能ではあります。
しかし問題文には「整数にならなければならない」とあるので、√を外した際に分子が9の倍数でなければ約分しきれずに分数のままです。
だから先に約分して分数をなくしておきましょう。
ｎは９の倍数、つまり何らかの自然数ｘに９をかけたものとして9xと表記することにします。
そうすると、
√140×9x/9 ＝ √140x
となるので、後は140に何の自然数をかければ√が外せるかを考えるだけです。
まず√140を簡単に直しましょう。
素因数分解すると
140 = 14 × 10 = (2×7) × (2×5) = 2^2 × 5 × 7
となるので
√140 = 2√35
となり、√35はもうこれ以上簡単にはできません。
√を外すためにはこの35をかけてやればよいので、ｘは35になります。
ｎはｘを９倍したものなので、35 × 9を計算すればそれが答えです。
めちゃめちゃ分かりやすかったです！
ありがとうございます(；＿；)