Question

ログアウト済み

(ⅲ) はどのように示せば良いのでしょうか？
経験上、微分可能が絡むと思うのですが、うまくいきません。
※ 使うかどうか分かりませんが、一応前問の自分の答えも載せておきます。

問題 2.8.定数c>0 と閉区間I上で定義された関数 f(z) が
F(2) - f(y)| <cla - yl, Va, y eI
を満たすとする。
(i) f はI上で連続である事を示せ。
(ii) c<1の時 an+l = f(an)と帰納的に定義される数列 {am}n はコーシー列である
事を示せ。
(i) c<1の時 f(z) = となる点がI上で唯一一つ存在する事を示せ。

281
この的『n, Ym Net 1 nして
(nフn とする)
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T-c
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とな3Nを1つて1, それをNerとする.

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Tak

Tatsu 1126さん、こんばんは。
今日は三度目になりますが、またお教えますね。

(ii)より、{a_n} はR内のCauchy列なので収束列となります。その極限値をxとし、a_{n+1} = f(a_n) に対してn→∞とすれば、fの連続性により、f(x) = xとなります。

個人的には、この辺のテクニックは面白くて好きですね。

ログアウト済み

f の連続性により、f(x) ＝ x となることは分かりましたが、これより、f(x)＝x となる点が「唯一つ存在する」事を示せたことになるのでしょうか？

Tak

一意性を見落としてました。
それを示すのはそれほど難しくありません。

xとyをf(x)=x, f(y)=yを満たす2点とする。
このとき、
|f(x) - f(y)| = |x - y| < c|x - y|
となる。今、c<1であるから、x=yとなる。

Tak

一意性を示して思いましたが、問題の不等式はイコールをいれた方がいい気がしますね。

ログアウト済み

ということは、問題ミスですかね？

Tak

明らかに、x=yとしたとき不等式が0<0となってしまいますね。

よって、不等式にイコールを入れるかか、不等式を任意のx, yではなく相異なる任意のx, yとするのが良いと思いました。

おそらく、出題者はイコール込みで考えていると思うので、イコール込みで考えてあげればいいと思いますよ。

ログアウト済み

分かりました。イコール込みで考えます。今回も回答ありがとうございます！