Question

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( ⅰ ) はどうやって証明するのでしょうか？
特に f(1)x の x の出し方が思い付きません…。

※ ( ⅱ ) は解答しても良いし、しなくても良いです。

問題 2.4. f(x)をRを定義域とする関数で,任意の有理数 z, y に対し f(x + y) =
f(x) + f(y) を満たすものとする.以下の事を示せ。
(i)任意の有理数 a に対し f(x) = f(1)x である。
(ii)fをさらに連続な関数とすると,全ての実数 z に対し f(z) = f(1)r となる。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Tak

この問題には典型的なパターンがあります。
以下の要領でチャレンジしてみてください。

(1) x=0のとき確認
(2)自然数に対して成り立つことを確認
(3)上記のことを用いて、整数に対して成り立つことを確認
(4)上記のことを用いて、有理数に対して成り立つことを確認
(5)任意の実数を有理数列の極限として近似し関数の連続性を用いて、実数に対して成り立つことを確認

ログアウト済み

回答ありがとうございます。
画像の通り、⑶ まで到達しました。
⑷ 以降は、具体的にはどうすれば良いでしょうか？

Tak

例えば以下のような感じでどうでしょうか。

r∈Q を取る。
このとき、∃m, n∈Z s.t. r = m/nとなる。
よって、
f(r) = f(m/n) = f(1/n) + f((m-1)/n) = … = mf(1/n)
となる。
よって、f(1/n) = f(1)/n を示せばよい。
これは、f(1) = f(n・1/n) = nf(1/n) となることから従う。

厳密には数学帰納法などと書くべきですが、大学レベルならこの程度の記述で問題ないかなと思います。

Tak

書いて気づきましたが、この問題ならダイレクトに有理数の場合で証明しても問題なさそうですね。

私が最初に書いたパターンは他の関数方程式でも使えますので、参考にしてください。
(関数方程式の問題は大学数学ではほぼ重要視されないと思いますが)

ログアウト済み

( ⅰ ) うまく証明できました！本当にありがとうございました。