数学
大学生・専門学校生・社会人
経済学の質問ですが、内容が数学のものでしたのでこの場を借りて質問させて頂きました。文章にある割引利得の数式の意味がわからなく、そのためにある補足説明も読みましたが、数学が苦手な私は数列と無限級数などざっくり説明されても分かりませんでした。もし誰か出来たら、写真上の文章をもっと分かりやすく言い換えてくれたらありがたいです。よろしくお願いします🙇♂️
写真は 岡田章著 ゲーム理論・入門~人間社会の理解のために~
p.142~144です。
られたらこちら
済学でよく用いられる方法は, 引利得の総和 (以下単に, 割利得
ガンマ, 小文字) に対して6万円の金が1年後には利子がついて!
1つを採用し, 繰り返し囚人のジレンマ、
略が対戦するとき、 毎回のゲームで行動の組 (C, C) が選択される。
将来利得が割り引かれる原因は, いろいろなものが考えられる。
たとえば, 金銭的な利得の場合, 預金の利子率y(ギリシャ文字の
らこちらも協力に戻る戦略である。
列といい
う。とく
ように,
将来利得の割引
数列とし
で公差
また
が対戦するとき、 毎回のゲームで行動の組 (C,C) が選択さい
このとき、 2人のブプレイヤーは利得5の無限列。
できる
5,5,
に
数
を得る。このような利得の無限列の評価として, ゲーム理論ちの
済学でよく用いられる方法は, 割引村得の総和 (以下単に, 割引IBe
和という)である。割引利得の考え方は, 将来の利得を現在時点。
評価する場合,額面より割り引いて評価するというものである。た
とえば、1年後にもらえる1万円を, 現在価値に換算して0.7万円
の和
と書
an
が無
と評価することである。 この割引の係数0.7 のことを将来利得の割
引因子という。割引因子の値が大きいほど, 将来利得を現在利得
と同程度に高く評価する。 利得5の無限列 (5,5,)の割引利得科
は, 6 (ギリシャ文字のデルタ, 小文字) を将来利得の割引因子とする
とき,等比級数の和の公式 ( ds ④) より,
と
5+56+ 58 +
5
と計算される。 ここで, 6 (0<6<1) である。
1-6
ガンマ, 小文字) に対して8万円の預金が1年後には利子が
142
第7章 繰り返しゲー(
済がま
「で、 ここで復習しよう。 実数を、 a1, Q2,"
|列といい, {an}」と書く。 an は第n番目の数を表し, 第n項とい
④/数列と無限級数
と限りなく並べたものを数
とくに, 最初の項 aj を初項という。 数列のなかで, 1,3,5,. の
ろに、一定の数r(ここでは 2) を次々に加えてできる数列を, 等差
数列という。 数rを, 等差数列の公差という。 1,3,5, は, 初項が1
で公差が2である等差数列である。
また, 1,3,9, のように一定の数r (ここでは3) を次々に掛けて
できる数列を, 等比数列といい, 数rを等比数列の公比という。 1,3,9,
..は, 初項が1で公比が3である等比数列である。
数列a1, 02,"…
.に対して,
a1+ a2 +…
の和の形式を, 数列 {an}-1からつくられる無限級数といい, 」 as
と書く。また, 数列の第n項 (= an)までの和, Sn = a1+a2++
an を, 級数の第n項までの部分和といい, Sn =
が無限大になるとき, 部分和の数列 {sn}_1が一定の値 sに収束する
とき, sを無限級数」a: の和といい, s=2」 Q; と書く。
繰り返しゲームの割引利得和のように等比級数の和はゲーム理論や経
済学で重要な役割をもつので, その計算の方法を説明しておこう。初項
が1で公比が6である等比数列の無限級数, 1+6+8°+…… の第n項
までの部分和,
E-10; と書く。 n
を Sn とおく。
1-67 = (1-6)(1+6+6°++80-1)
の関係式より,
1-67
Sn =
1-6
が成り立つ。0ハる<1ならば, n が無限大になるとき, 67は限りな
る。しかし, All-D 戦略がこれらの戦略と対戦する場合には, 裏
に対戦する場合には, 毎回, 協力が実現す
繰り返し囚人のジレンマでは, All-C 戦略
やトリガー戦略格, しっぺ返し戦略が互い
く0に近づくから,
11
1-6
が成り立つ。もし>1ならば, 部分和の数列 {sn}」は無限大にを
散し、和をもたないことに注意しよう。
万円となるならば, 6が割引因子となる。このとき,利子率っと割
引因子6は, (1+7)6=1の関係にある。一般の利得の場合は, 割
引因子6は時間の遅れに対するプレイヤーの忍耐度,または時間
に関する選好の程度を表すと考えられる。 割引因子の値が大きい人
ほど忍耐強い人であることを表す。 また, プレイヤーが共通の割引
因子をもつ場合, 割引因子の値はゲームが次の回に続く確率として
も解釈できる。この場合は, 毎回のプレイが終わった後でゲームが
終了する可能性がある。 終了するときのプレイヤーの利得をゼロと
すると, 割引利得和はゲーム全体の期待利得と等しい。いずれの場
合でも, プレイヤーは, 割引利得和を最大にするように戦略を選ぶ
と仮定する。
繰り返し囚人のジレンマでは, All-C 戦師
やトリガー戦略,しっべ返し戦略が互い
に対戦する場合には、毎回,協力が実現
繰り返し囚人のジレン
マのナッシュ均衡点
切りの行動がブレイされることになる。たいい
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