数学
中学生

写真の問題がわかりません。
外心、三平方の定理など、いろいろ考えてみましたが、複雑になってしまい、解けませんでした…
数学が苦手なので、出来れば細かく教えていただきたいです。

右の図のようなAB=AC=DAD=CD=8, BC=6, ZBCD=90° である四面体ABCD がある。 Aから底面BCDに下ろした垂線の足をHと するとき、次の各問いに答えよ。 (1) CHの長さを求めよ。 B D (2) 四面体ABCDの体積を求めよ。 C
立体図形 数学苦手 数学

回答

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(1)CHの長さ
(考え方)点Hに関する情報が重要。特にCHの長さが何によって決まるのかに注目。点Hの位置は点Aの位置により決まる。点Aの位置はAB,AC,ADの長さによって一意に決まる。したがって、この3辺の長さによってCHの長さも決まる。AB,AC,ADの長さを利用できないか考えつつ進める。
・AHは平面BCDに下ろした垂線
⇒AHは平面BCDのすべての直線に対して垂直
⇒AH⊥BH, AH⊥CH, AH⊥DH
このこととAB=AC=ADであることから、
△ABH, △ACH, △ADHについて、
斜辺と他の一辺の長さが等しい直角三角形なので、
△ABH≡△ACH≡△ADH
よって、対応する辺の長さは等しいから、
BH=CH=DH
これより点Hは△BCDの外心だとわかる。
このときCHは外心円の半径である。
△BCDの外心円を考える。
円周角に注目すると、∠BCD=90°よりBDは直径である。直径BD=√(6²+8²)=10より、外心円の半径は5であるから、CH=5
[別に外心の作図(垂直二等分線の交点)から求めてもよい。BC,BDの垂直二等分線の交点が点HとなるからBC,CDの中点をそれぞれM,Nとすると、CM=3,CN=4の長方形CNHMができる。対角線の長さCH=√(3²+4²)=5]

(2)四面体ABCDの体積
錐の体積の公式を用いる。
体積=底面積×高さ/3
底面△BCDの面積=8×6/2=24
高さAHは△ACHに対して三平方の定理を用いて求められる。
AC²=AH²+CH²
AH²=AC²-CH²=64-25=39
AH=√39
よって、
体積V=(24×√39)/3=8√39

みるくぷりん

とても分かりやすい解説をありがとうございます!
BDが直径とは気づきませんでした🙇

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