Question

Mathematica

写真の問題の？のところが
なんで全射になるのかが分かりません。
教えて下さい。

例題7.3,1
n個の実数 ai, Q2, **, an を固定する. R"のベクトルェで 2
の成分1, 22,
,
*, En が方程式
a12it a2.22+ +anCn =0
をみたすようなものの全体を Wとするとき, Wの次元を決定せよ.
解答 写像f:R"→ Rを
X1
f(x) = f
= Q1C1+….+ anCn
Cn
によって定義すると, これは線形写像である. そして, W= Kerfに他ならな
い、もしもすべての ai が0の場合は明らかに W= R"であるから dimW=n
である。もしも ai のうち1つでも0でないのがあると,写像象子は全射になるか
ら,線形写像の基本定理から,
I=R
dim W+dimR= dim R" = n
したがって
dim W = n-1

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

哲治

簡単なお話ですよ。
例えばゼロでないものとしてa1x1だとします。
x1はR全体を動く時、その像a1x1もR全体を動くので当然に全射となります。

Mathematica

ご回答ありがとうございます。

ご回答を参考に考えてみたのですが、
やはりよく分かりませんでした。

そこで、
写真の様に考えてみました。

この様な考え方でも合っていますか?

哲治

テキスト通りなんであってますけれど、全射の説明になってません。

Mathematica

ご返答ありがとうございます。

この解答でもいいけど、
全射であることを利用した解答にはなっていないということでしょうか？

哲治

違う。違う。そんな難しい話じゃないです。
今、像空間はRなんで１次元でしょ、だから空間全体を表すには基底が１個あればいいわけです。
今、それを例えばa1x1とするとx1の変域に何の制限もないから、a1(定数)x1は当然に実数全体を表せるよねというだけのお話です。

Mathematica

理解できました。
ありがとうございますm(__)m