大学の講義を見させてもらった際の問題で困っています。

数学

大学生・専門学校生・社会人

3年弱前

大学の講義を見させてもらった際の問題で困っています。
固有値問題を線形微分方程式で表した問題だと思うのですが、なぜ中段(写真中央)の式から下段(写真下部)のような結果がでるのかわかりません。
中段1つ目の式でしたら
-1=-a-(-a+1)
のように下段の表の値を天下り的に適当に数字を当てはめて成り立たせることしかできません。
勉強の仕方など、どう導けば下段の表が得られるか教えていただきたいです。

AQRMの固有値問題は正則関数, V2 € Bと実数入で次を満たすものを探すことと同じ; J(20, + A)+ (g(z+ O2) + e)¢2 = Aub1, l(8(z+ 0) +e)+(z0, - A)2 = >db2. f=土とすれば,上式の和,差をそれぞれ計算して, d (z+&)-4+(gz +e-)f+ + Af_ = 0, d (z-8)-- (gz +e+)£_+Af, = 0, dz 1+(z) +Z 2g) = e4(z), p2±(z) := e-"f4(z), a:= -(A+g?-e)とすれば,二つの変数変換 y= :愛,ア= に対してそれぞれーの+(y) = -a1+(y) - Ap-(y), d (y-1) dy の-(y) = -(4g° - 4g°y+a-2e)¢1-(y) - A,+(y). d (ア-1)2+() = -(4g° -4g°y+ a)¢2,+(y) - A¢2, (). dy d dy が得られる。(a- 2e) = -A+g?+e), y=1-yに注意) これらのy=0,1での特異点は確定特異点である。 Table: 二つの方程式系の指数ゆ1,-(y) の1,+(y) ゆ2,-(1 - y) 2,+(1 - y) 0, -a+1 0,-a+ 2e 0,-a 0,-a+ 2e +1 y=0 0,-a+1 0,-a 0, -a+ 2e 0, -a+ 2e + 1 y=1

固有値問題正則固有値線形微分方程式物理数学

回答

Crystal Clear

3年弱前

「中段1つ目の式でしたら
-1=-a-(-a+1)
のように下段の表の値を天下り的に適当に数字を当てはめて成り立たせる」
とはどういう意味ですか？
具体的にどの式でどのような計算をしていますか？

確定特異点級数展開

ゆう 3年弱前

頭がごちゃごちゃしていてよくわからない式を勝手に作っていました…冷静になって考えると私自身でもなぜ書いたかわからないので無視してもらえると助かります。

Crystal Clear 3年弱前

なるほど、何か簡単に導ける方法があるのかなどと思いました。

画像はΦ1+について求めています。
同様にして他の関数についても求めることができるはずです。計算は多めですが、やっていることは級数展開して両辺の係数比較です。

http://mecs.jp/MULTIMEDIA/diffpub/node42.html

ゆう 3年弱前

詳細な解説、加えてサイトの紹介までありがとうございます。教えてもらえたにも関わらず申し訳ございませんが、下記の部分のみ疑問が残り完璧とは言えませんがほぼ理解でき他の関数についても計算できました。
φ-を②に代入した際に、
φ-=1/△(-a(φ+)-yφ+')は
(φ-)'=1/△(-aφ+'-yφ+"-1)
ということでしょうか。
例えばφ-=1/△(-a(φ+)-y^2φ+')でしたら
(φ-)'=1/△(-aφ+'-y^2φ+"-2y)
φ-=1/△(-aφ+'-y^2φ+")でしたら
(φ-)'=1/△(-aφ+"-y^2φ+"'-2yφ+")
ということでしょうか？