Question

こんにゃく

回答の『kについての2次方程式〜』のところから後ろを解説してほしいです！

21
2
3
CS0 0
発>展問題
97 k, a は実数の定数とする。2次方程式 x°+(k+a)x+k°+a=0 がどのよう
なkの値に対しても虚数解をもつようなaの値の範囲を求めよ。
CIO

97 x+(k+a)x+k?+a=0
の
①の判別式を Dとすると
D=(k+a)?-4(k?+ a)
=-3k?+2ak+a'-4a
4
①が虚数解をもつための必要十分条件は
D<0
-3k?+2ak+a?-4a<0
すなわち
ケ
よって
10
kについての2次方程式 3k?-2ak-a'+4a=0
3k?-2ak-a'+4a>0
の判別式を D、とすると,②がどのようなkの
値に対しても成り立つための必要十分条件は
D、<0
(0
- Di
=(-a)-3(-α'+4a)=D4a(a-3)
2
ここで
4
D9+48+9
4a(a-3)<0
よって
これを解いて
0<a<3

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

あやめ芽

kについての2次方程式というのは
解の公式を使ってkの解を*2つ求めれば
*(実数解2つ、重解で2つ、虚数解2つ)
(k－α)(k－β)＝0という式に変形できますよね。
↑この変形の意味が分からない時には、まず質問してください！

ここで②の不等式に戻って欲しいのですが、kについて二次方程式が0よりも大きくなる必要がありますね。
ということは
(k－α)(k－β)＞0
このイメージです。

一旦0より大きくなるってどういうことか考えてみましょう。
何かと何かをかけ算した時に0より大きくなる。
ここではAとBと起きましょう。
A×B＞0

そうですね〜少し余談になってしまいますが
－×－は＋ですね。
＋×＋も＋ですね。
しかし
－×＋は－ですね。
＋×－も－ですね。
余談は終了です。

さて、今回の問題で1番大事なものが抜けてますね。
そうです。
A×B＞0

＞なんです。

つまりはAとBのどちらかが、0になってしまった瞬間この不等式は成り立ちません。

ということは
A≠0
B≠0
は確実ですね。

A×B＞0は
(k－α)(k－β)＞0と似てますね〜

少し回りくどい話をしてしまいましたが、
(k－α)≠0
(k－β)≠0
なのはもう分かりますよね。

さて、α、βって記号を使っていますがこいつらは何者でしょうか？
最初の方でkについての2次方程式を解の公式使って〜変形して〜などと言ってましたよね。
kについての2次方程式から
k＝αとk＝β、って2つの解を出して
(k－α)(k－β)＝0こんな式に変形したんですね。

ここで重要なのは
・αとβはあのkについての2次方程式の２つの解
・解の公式を使ってαとβを求めた
です。

いよいよ本題です
問題文に戻っていただくと

"kは実数"
"どのようなkの値に対しても"

"2次方程式が虚数解を持つ"
(kについての2次方程式とは区別してください)

てことで、
上記3つ全て満たすようなaを範囲を求めれば良いですね。

(k－α)(k－β)＞0

kは実数ならどのような値でもいい。
はい。きました。
この時点でαとβは絶対に虚数でないとダメですね。
1－1＝0
0.00001－0.00001＝0
なんてことがありますから。
実数－虚数であれば少なくとも0にはなりません。

いいですか。αとβは虚数です。
問題文にあった虚数解とはちがいますよ。
αとβが虚数です。

kについての〜から説明して下さいとの事でしたので。②が問題文の2次方程式が虚数解を持つ条件ということは大丈夫ですね。

さてさて
αとβが虚数。

解の公式で求める
k＝α
k＝β
のαとβが虚数

もうお分かりかもしれませんが、
D1＜0の説明です。

そもそも判別式というのは
解の公式の√の部分だけを取り出して、
実数解2つ(重解)か虚数解2つのどちらになるかを判別できるから判別式と言うんでしたね。
√の部分が－なら虚数解2つ
√の部分が＋なら実数解2つ

2つの解、αとβは虚数ですから
√の中身は－になります
すると
判別式はD1＜0
となります。

これを計算するとaだけの式になり範囲が求まります。

以上です。分からない点がありましたら質問をください。

こんにゃく

丁寧に教えてくださりありがとうございます😊
じっくり解説を読んで、理解できました！