✨ ベストアンサー ✨
もちろんいい感じの虚数を当てはめれば成り立つでしょう。
しかし、x,b間になんの相関もないような2つの複素数a+bi,c+diを代入しても成り立つかと言うとそうではありません。
実数係数の割り算は適当な実数を代入しても成り立ちます。
公理となるには一般性が低いように感じます
答えてくださってありがとうございます。
恒等式だから、ということですよね！なんの相関もない複素数を代入しても成立しない、というのはどういうことでしょうか。式の係数と代入する値はまた別物じゃないですか？
実数係数の整式の割り算は、商も余りも実数になる、ではなく、「余りや商が虚数の可能性があること」というのが一般性を欠くということですか？
例えばこの式を、展開した時に虚数同士がうまく打ち消しあうようにすれば結果的に同じ式になりませんか？
ごめんなさい、質問の意図を取り違えていたみたいで訳の分からない回答になっていました、、、
実数係数の整式について。
f(x)=(x-a)g(x)+b
という式があった時に、
f(x):=(x-a)g(x)+b の省略みたいなものなんですよね。
A:=B とはAをBで定義する ということです。
ですから、f(x)の最終的な式が実数係数になれば良い のではなく、
定義式その物が実数係数出なくてはいけません。
だから打ち消しあって……云々の条件のもとに定義されるf(x)は実数係数の整式では無いということです
勝手に定義した式なら正式と定義することもできるんじゃないでしょうか？
「実数係数の整式の割り算の余りと商も実数係数になる」というのは実数係数の整式の割り算の定義の一部ということですか？(これが「定義」と言われても納得はできませんが…)
実数係数整式P(x)を定義した時に、
どのような実数で割っても商と余りは実数になる
というのは公理です。定義では無いです
1+1は2になる、みたいな感じだということですか？
それは定義です。
公理は
a+(b+c)=(a+b)+c
になるのと同じようなものです
腑に落ちないです…
実数係数の整式は、［実数係数の整式］×商(実数係数の整式)+余(実数係数の整式)で定義されるということですよね？
それは整式の定義からは外れるような気がします、、、
整式の定義は分数などを含まない多項式もしくは単項式のことですよ？
そうなんですね！
f(x)=(x-a)g(x)+b
という式があった時に、
f(x):=(x-a)g(x)+b の省略みたいなものなんですよね。
A:=B とはAをBで定義する
この部分の解釈を間違えたみたいですがどういうことか説明したしていただけませんか？
整式かどうかよりも商や余りが実数係数か虚数係数が気になるんですよね…元の式が整数の係数でも、余りや商はそうとは限らない気がしてしまいます…
整式のひとつの形としてそのような定義をしただけです。
整式を構成する多項式がそのような作りだってだけです。
実数係数整式では虚数はどのような形であれ使うことは出来ません。
f(x)という実数係数整式があったとき、xも実数ならばどのような操作をしても虚数を作ることは出来ません。
何れの方にせよ複素数が入った時点で実数係数整式という条件に反します。
なるほど！ありがとうございます。助かりました🙇♂️
3行目は
g(x),b間
でしたね