数学
高校生

数学の質問です。写真あります。(青チャ2B,P162)

写真下部の「"参考" 交点をもたない2つの円の場合についての考察」と書いてある部分について質問です。(ページ上部の部分は読まなくても分かるかと思います…)

まず、k=−1 のときx=9/2 というのが 一体何を表してるのか分かりません…。

また、k=−1 からどうやって x=9/2 が求められますか?

最後に、-f'(x,y)+g'(x,y)=-f(x,y)+g(x,y) となる理由が分かりません。

その上で、なぜBがC,D の交点を通る直線だといえるんでしょうか…?

ぜひ回答お願いします!

162 2曲線の交点を通る曲線の方程式(2) まず,前ページの[1], [2] について考えてみたい。[1](ともに直線)の場合について 事項 p.127 で説明しているので, ここでは[2] (ともに円)の場合について、例題O の円 めよ。 円tyー2 -2kx のをもとに考えてみたい。 解答のの:k(x2+y?-5)+x°+y?+4x-4y-130をx, yについて整理すると 計>0) 円と直線のス 円と直線の交 (&+1)x+4x+(R+1)y°-4y-5k-130 4x-4y+4=0 すなわち xーy+1=0 Peo2点の座標を k=-1のとき これは、x, yの1次方程式で,直線を表す。 2 2) 「kの値に大 よって、をに kキー1のとき 4 x+ 4 +1*+y-+1ソー 5k+1 =0 k+1 k=1 変形すると(+)+(yー-)= 5+6k+9 2 2 3 5k°+6k+9=5(k+ 36 >0であるから,これは円を表す D kを定数として える。 (円x+y°=5 を除く)。 赤色または青色の曲身すs 各kの値に対する曲格。 また,直線や円以外でもが+g=0 の利用が有効な場合がある。 2つの放物線の交点を通る直線 f(x, y)=x°+y, g(x, y)=-x°+2x+y+2とすると f(x, y)=0 は y=-x°, g(x, y)=0は y=x°-2x-2 となり,ともに放物線を表す。 kを定数として,方程式 kf(x, y)+g(x, y)=0 つまり,k(x°+y)-x°+2x+y+2=0を考えると, k=1のとき 2x+2y+2=0 すなわち x+y+1=0 これは,2つの放物線f(x, y)=0, g(x, y)=0 の交点を通る直線の方程式を表す。 Oは、円と直終 固形を表す。 図形0が原点 よ=0, y=0を ゆえに g.j 0 fx,)=0 0に代入して 整理すると これは円を表 参考 交点をもたない2つの円の場合についての考察 f(x, y)=x°+y?_9, g(x, y)=x"+y?-2.x とすると, f(x, y)=0, g(x, y)=0は右の図のような2つの円を表す。 をを定数として,方程式 kf(x, y)+g(x, y)=0 を考えると, 人3 2 円の方程 九外 Fx,)=0 317 この等式が x+2y 1 0,0か 9 k=-1のときx=- Bが得られる。 ゆえに 2 しかし, 2つの円は交わらないから, Bは2つの円の交点を 予 通る直線ではない。 ここで,直線B は次のような意味をもつ。 f(x, y). g(x, y)に共通な数tを加えて(例えばt=-16) F(x, y)=f(x, y)+t, g'(x, y)=g(x, y)+t とすることで,交わる2円f(x, y)=0 … ©, g(x, y)=0 … D が得られる。ここで, /を定数として, 方程式RF(x, y) +g(x, y)=0を考え, ピ=-1とすると ーf(x, y)+g'(x, y)=-f(x, y)+g(x, y)=0 よって,B は2円 ©, ① の交点を通る直線の方程式を表す (右図参照)。 よって 0から fx, )=0 ゆえに、 5 Sd交 -3 -1 練習 105 キャ

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