例題 118
境界線の同じ側と反対側
(1) 2点A(2, 0), B(-1, 1) を結ぶ線分と直線mx-y-1=0
とが交わるように, 定数 mの値の範囲を定めよ.ここで, 線分 AR
はその両端を含まないものとする。
(2) 円x+y?-2kx-3=0 に関して, 2点A(1, 2), B(-2, 3)が互い
に反対側にあるとき, 定数kの値の範囲を求めよ。
同じ側
反対側
直線のと線分ABが交わるということは, 線分の
両端A, Bが直線①に関して反対側にある。
*点Aが mx-y-1 の正領域にあるとき、点
Bは負領域にある。
点Aが mx-yー1 の負領域にあるとき, 点
Bは正領域にある。
つまり,2点の座標を①の左辺に代入したとき, 異符号になる。
考え方
w w
w
交わら
交わる
ない
f(2, 0)<0,
(1) 直線のと線分 AB が交わるとき, 2点
A, Bは直線①に関して反対側にある。
f(x, y)=mx-yー1 とおくと,
f(2, 0)×f(-1,1)<0
(2m-1)(-m-2)<0
(2m-1)(m+2)>0
YA
解答
B
0
A
または
x
-1
f(2, 0)>0,
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の集合を考えて
もよい。
B。
よって,
m<-2,
くm
2
0
「A
x
-1
(2) 2点A, Bが円に関して反対側にあるから,
を代入したとき
のf(x, y)の
(1°+2°-2k-1-3){(-2)+3°-2k-(-2)-3}<0
(-2k+2)(4k+10)<0
(k-1)(2k+5)>0
符号が異なる。
A
5
kく-
2
0
よって,
1くk
Focus
曲線f(x, y)=0 に関して
2点(x, y), (x2, ya) が
同じ側 → f(x, y)×f(x2, ya)>0
反対側 → f(x), y))×f(x2, y2)<0
Y4 f(x,y)=0
Y4 f(x.y)=0
(2, Y2)/(x, y)
( M
0
x
(, y2)
M
練習
(1) 2点A(3, 1), B(1, 5) としたとき, 線分 AB が方程式 y=kx+2 の表?
図形と共有点をもつような定数kの値の範囲を定めよ、ここで, 線分AD
はその両端を含まないものとする。 3
(2) 2点A(0, 2), B(2, 2) と円 x+y?-2ax-2by=0 が与えられている。の
のそれぞれの場合,円の中心Pの存在範囲を図示せよ.
(ア) 2点A, Bがともに円の外部にある場合
線分 AB がつねに円の外部にある場合
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→.2273
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