Question

佐藤

大学の数学の極限の基礎です。証明の仕方がいまいち分からないのでどなたか教えてください。

問題
a, = (22n +(-2)")/22n で与えられる実数列 {an}」について,
次の間に答えなさい:
1 ある自然数 N が存在して,n>N であれば
|an - 1|<1/65536 が常に成り立つことを示しなさい。
lim a, を定義に従い求めなさい。
n=1
|2
n→0

極限の定義
まず,その定義を与えることにする:
定義(教科書 p.6)
実数の数列{a,}」がaeR に収束するとは,次を満たすこと:
任意のe>0に対して,ある自然数 N が存在して, n>N
なる全ての n について |a, - a|<eが成り立つ.
このとき, lim a,
=a と表す。
n→0
これを以下のように書くことが多々ある(V は任意,ヨは存在とい
う意味で用いられる。N は自然数全体の集合であり,手書きなら
ばNと二重線で書くことが多い):
Ve> 0, ヨN eN s.t. n> N→ |an - a|<E

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

寒

[例題] aₙ=(-1/3)ⁿが0に収束することを示せ。
(1)n≧Nのとき|aₙ-0|＜1/99となるようなNを求めよ。
|(-1/3)ⁿ|＜1/99を満たすようなnについて考えればよい。
|(-1/3)ⁿ|=|(-1/3)|ⁿ=(1/3)ⁿ=1/3ⁿ
1/3ⁿ＜1/99
3ⁿ＞99
n＞log₃99=log₃(9×11)=log₃9+log₃11=2+log₃11
n＞2+log₃11を満たすような整数nの条件を考えればよい。
log₃9＜log₃11＜log₃27
2＜log₃11＜3
4＜2+log₃11＜5
よって、n≧5であれば常にn＞log₃99が成り立つ、つまり|aₙ-0|＜1/99が成り立つので、N=5である。
(証明)
n≧5のとき3ⁿ≧3⁵=243＞99であるから、
1/3ⁿ＜1/99となり、
|(-1/3)ⁿ-0|=|-1/3|ⁿ=(1/3)ⁿ=1/3ⁿより
n≧5であれば|(-1/3)ⁿ-0|＜1/99が常に成り立つといえる。
(2)任意のε＞0に対して、n≧Nであれば|aₙ-0|＜εとなるようなNが存在することを示せ。
1/3ⁿ＜ε
ε＞0より逆数をとると
3ⁿ＞1/ε
n＞log₃(1/ε)=-log₃ε
ε＞0であるから-log₃εは実数である。
よって、-log₃εより大きい自然数が存在し、それをNとすれば、N＞-log₃εとなるから、
n≧Nであればn≧N＞-log₃ε=log₃(1/ε)より
3ⁿ＞1/ε
1/3ⁿ＜ε
|(-1/3)ⁿ-0|＜ε
となるので、条件を満たすNは確かに存在し、それは-log₃εより大きい自然数である。
よって、任意のε＞0に対して、N＞-log₃εを満たす自然数Nが存在し、このときn≧Nなるすべてのnについて、
|aₙ-0|＜ε
が成り立つことが示せたので、lim(n→∞)aₙ=0である。

まあ大体こんな感じだと思います。多少説明を加えているので解答としては冗長かもしれません。あくまでも参考程度に。