まず、`A=(a.b)と置いて、Hを出したとします。この時、問題文の条件の線対称を使うことになるので、直線l垂直A`Aと AH=’AHを使っています。ここで出したHを使ってAH=’AHに代入しても、すでにAH=’AHをHを求めるために使っているので、値は出ません。(a.bと文字が二つあるため、連立させるためには異なる式が二つは必要です)したがって先にHを出してからならできます。ただ、それはベクトル(僕はそれしか思いつきませんでした…)でHを出して、また、Hの座標がわかったら三平方に代入するより、線対称の中点の公式に入れる方が簡単です。まとめると、AH=`AHと距離を求めることを考えるのはめんどくさくなりやすいってことではないか？と考えました。自分で考えたのでかなり間違っていそうです…。すみません。
数学
高校生
この問題が分かりません。
印をつけてる部分ですが
なぜ、AH＝A'Hという距離の式を使ってはいけないですか？
57
35 線対称
30赤
点 A(3, 1) の直線 1:y=2.c+1 に関する対称点 A' を求めよ。
「点Aの直線1に関する対称点」とは,点A
精 講
をしで折り返して重なる点のことです。
次の2つの性質に着眼して立式します。
H
1TVV'I
I. 線分 AA'の中点は1上にある
注決して AH=A'H という距離の式を作ってはいけません.
'A
解答
A'(a, b) とおくと, 直線 AA'、の傾きは一だから,
T
秋コた
6-1
a-3
①···· · 9=9+0 ·
また, 線分AA'の中点(“,)は
a+3
6+1
.7
2 1
b+1
a+3
1上にあるので,
=2.
2
.". 2a-b=ー7
2
… 10
6
①, ②より, a=
-,, b=
17
G
17
6
A
回答
疑問に思ったときは自分で試して失敗することもいい経験です.
***
A'の座標を(a, b)とします. またHの座標を(x, y)とします[この理由は後から分かります].
AH=A'Hなので(x-3)^2+(y-1)^2=(x-a)^2+(y-b)^2がいえ, 整理すると2(a-3)x+2(b-1)y=a^2+b^2-10.
点(x, y)は直線y=2x+1⇔2x-y=-1上にある[軌跡の問題とみます]ので, 2(a-3)/2(b-1)=2/(-1)⇔a+2b=5が必要で
このときx+2y={(5-2b)^2+b^2-10}/2(1-b). すなわち{(5-2b)^2+b^2-10}/2(1-b)=-1⇔5b^2-22b+17=0も必要で,
これを解くとb=1, 17/5. ここでb=1のときはAと一致することを意味するので不適です.
したがって(-9/5, 17/5)が求めるべき点A'の座標です.
***
というように実は解くことが出来ます.
AとA'から等距離にある点集合というのは垂直二等分線[これは軌跡]で, これが直線ℓと一致するというのが発想の肝です.
ただ模範解答の方法と比べると遠回りですし, 計算も複雑ですから避けようというアドバイスだと思います.
他の別解も紹介しておきましょう.
***
点Aを通り直線ℓと直交する方程式はy=(-1/2)(x-3)+1⇔x+2y=5で, 対称点A'はこの直線上に存在します.
したがって媒介変数tを用いてA'の座標は(5-2t, t)と書くことが出来ます.
また点と直線の距離公式からAH=|2*3-1+1|/√(2^2+1^2)=6/√5で, AA'=12/√5であることが分かります.
つまりAA'^2={(5-2t)-3}^2+(t-1)^2=(12/√5)^2⇔(t-1)^2=(12/5)^2⇔t=1±(12/5)=-7/5, 17/5.
以上からA'(39/5, -7/5), (-9/5, 17/5)の2点が考えられる.
ところが(39/5, -7/5)は点Aと同じく領域y>2x+1にあるので対称点になりえない.
一方, (-9/5, 17/5)は点Aと反対側の領域y<2x+1にあるので求めるべき対称点である
[最後の部分は先に処理しておいた方が実は楽です. ベクトルを習えばスマートに解けます].
***
図形の問題は色々な見方が出来ます. どれがうまく解けそうか考えてみることもいい勉強になりますよ.
[訂正]
最初の方の解答ですが,
A'の座標を(a, b)≠(3,1)とします. に変更してください. その理由は
x+2y={(5-2b)^2+b^2-10}/2(1-b)の途中計算で(1-b)≠0であることが必要です.
b≠1の下で計算しているのでb=17/5と決まり,「ここでb=1のときはAと一致することを意味するので不適です.」は削れます.
[訂正2]
解答を読めば分かると思いますが,
ところが(39/5, -7/5)は点Aと同じく領域y<2x+1にあるので対称点になりえない.
一方, (-9/5, 17/5)は点Aと反対側の領域y>2x+1にあるので求めるべき対称点である
と不等号が逆です.
ご丁寧な回答をありがとうございました😊
理解します！
媒介変数の別解まで付けて下さりありがとうございました😊
分かりやすかったです^ - ^
疑問は解決しましたか？
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ご丁寧な回答をありがとうございました😊
確かに！距離の式だと行き詰まりますね💦
理解できます^ - ^
ありがとうございます😊