写真の半分から下の「曲線の対称移動」について質問です。点Qの座標が写真のよう

数学

高校生

解決済み

27日前

写真の半分から下の「曲線の対称移動」について質問です。点Qの座標が写真のように表せてそれをFに代入するところまでわかるのですが、代入して得られたその式がどうして対称移動して得られるGの式になるのですか。当たり前のことだと思うのですがわからないので教えていただきたいです。
雑な質問なのは重々承知ですが答えていただけると嬉しいです。

回答

✨ ベストアンサー ✨

Mackarel

27日前

これは正直悪い説明だと思います。いろんなことをすっとばしすぎです。
f(x) について一般的に考えた方がわかりやすいと思います。

大雑把な言い方ですと、x軸に関して対称の場合は曲線を構成するすべての点に (x, y) → (-x, y) をするから、y = f(x) ならば新しい曲線は y = f(-x) になる、というだけです。
y軸なら (x, y) → (x, -y) だから -y = f(x) ⇒ y = -f(x)、
原点なら両方をするから (x, y) → (-x, -y) なので、 -y = f(-x) ⇒ y = -f(-x)

Mackarel 27日前

何ならどんな曲線でも図形でも行けますよ。例えば円とか、楕円とかは f(x, y) = C の形で表されます。これを x 軸に対して対称移動させるなら f(-x, y) = const. になります。曲線の内側の点も表したいなら f(x, y) ≦ C の形なので、これもまた f(-x, y) ≦ C で表せます。

😊 27日前

あるf(x)があってそれを対称移動するにはf(x)の全ての点を一個一個、条件を満たす点（例えば(-x,y)など）に変えてy=f(x)とすると、そのx,yに条件を満たす点を代入すればいいと言うことですか。式でx,y以外は変わらないのは対称移動なだけでらグラフの形（勝手に作ったので曖昧ですが）自体はx,yで変わらないからと言うことであってますか？（次数が変われば変わるのはもちろんわかりますが）

Mackarel 26日前

考え方としては、グラフ上のすべての点を対称移動させる、といった感じです。「曲線や図形は点の集合である」という考え方が重要です。

まず 1次元から始めてみましょうか。ただの数直線ですね。ここでの点は例えば (x) と表せます。これを数直線上で反転させるにはどうすればいいでしょうか？(-x)にすればいいですね。これが1次元の対称移動です。
1次元のグラフというのはないですが、代わりに範囲とかを考えてみましょう。[a, b] は a, b を含む、a から b までの範囲を表す記号です。この対称移動を反転させるにはどうすればいいでしょうか。
なんとなく直感で [-b, -a] になるのは分かりますが、どう説明しますか？
説明としては、この範囲にあるすべての点に対して対称移動をさせる、(x → -x) と、範囲を丸ごと対称移動させたのと同じことになりますので、両端の a, b が移動した点が新しい両端になって、a < b なので、-b < -a で、大きさは反転する、といえますね。
このイメージです。

では y = f(x) と y = f(-x) の関係をもう少し詳しく：
最初の式に x = a を代入します。すると y = f(a) になります。もう一つの方には x = -a を代入すると、これもまた y = f(a) になります。これを言い換えると、最初のグラフで x = a の時と、二つ目のグラフで x = -a の時には、同じ y である、といえます。
つまり、二つの点 (a, f(a)) と (-a, f(a)) は y軸に対して対称です {(x, y) → (-x, y) の形}。この関係はグラフ上のすべての点に当てはまるので、y = f(x) と y = f(-x) は y軸に対して対称のグラフである、といえます。
もっというと、y = f(x) を満たしていた点の集合（グラフ）が、すべて (x, y) → (-x, y) の移動をしたとしたら、これらの点はすべて y = f(-x）を満たす、といった感じです。

この関係の証明に、f がどのような関数かを指定してないのが分かると思います。これはつまり、この関係が一般的にすべての関数に対して当てはまることを示しています。

もっと一般的な多変数関数の f(x, y) = c の形についても考えてみましょう：
y = f(x) で表せるグラフ、例えば y = e^x も、g(x, y) = y - e^x = 0 とできますので、これに当てはまります。

例 f(x, y) = (x-1)^2 + y^2 = 1 {中心 (1, 0), 半径 1 の円}：
この形の場合は同じ y になる x が複数個ある場合があります。この場合だと、x = ±√(1-y^2) + 1 で y = ±1 （円の一番上と一番下）以外は、一つの y に対して二つの x の値がありますので、対称移動させようとするとごっちゃになるかといえば、そうではありません。これら二つの点が、それぞれ対称移動します。

関数としてみると、前の例と全く同じで、f(x, y) = c を満たしていた点の集合（図形）が、すべて (x, y) → (-x, y) の移動をしたとしたら、これらの点はすべて f(-x, y) = c （同じ c）を満たす、といった感じです。

もっと詳しくいうと：
もともと f(x, y) = c を満たす点 (a, b) があったとします。つまり f(a, b) = c。
これに対して、f(-x, y) に (-a, b) を代入すると、 f(-(-a, b)) = f(a, b) = c になるので、(a, b) を y軸に対して対称移動させた点 (-a, b) は f(-x, y) = c を満たします。これは f(x, y) = c を満たす他のすべての点に対していえます。言い方を変えると、f(x, y) = c を構成していた点の集合が y軸に対して対称移動すると、この点の集合は今度は f(-x, y) = c を満たすことになります。この「f(x, y) = c を構成していた点の集合」というのが、まさに曲線 = グラフのことですので、グラフが丸ごとy軸に対して対称移動した、ということになるわけです。

さらに f(x, y, z) になると三次元曲線や図形でも同じことが言えます。何なら直交座標系なら何次元でも行けます。

かなり理屈ばっかりになってしまいましたが、理解してみるには直感も大事ですよ！Desmos みたいなサイトで遊んでみてください。
https://www.desmos.com/calculator