Question

asdf1237

数列 {a[n]} は任意の番号 i, j に対して
| a[i+j] - a[i] - a[j] | < 1/(i+j)
が成り立つものとする
{a[n]} は等差数列であることを示せ この問題をご教授頂けると幸いです。すみませんが。
この問題の解説の 2行目から詳しくご教授頂けると幸いです。具体例で、a(n)＝n∧ 2で考えてみて。と言われたのですが、どうやって確認すれば良いのでしょうか？これについても、お願いします。
具体例で、 * 例えば a(n) = n^2だとなぜダメなのか * a(n)の中の一つだけが等差数列からずれていたら、どうなるのか。例えば n=3の時だけ7で、他の時は a(n) = 2n という数列だとどうしてダメなのか * 等差数列とあるが、例えば a(n) = 2n+3とかだと問題を満たすのか について、考えれば良いとも言っているのですが、ここら辺もお願いします。

問題 数列 (an)は任意の番号,jに対して la(i+j)-a(i)-a(i)|< 1/(i+j) が成り立つものとする。 (an) は等
差数列であることを示せ。
1.先ず初めに (an) が等差数列とすると、ある実数 a,bが存在し a(n) = an + bと書けるが、
この時 |a(i+j) -a(i) - a(i)|= |b| である。従って6チ0ならば、(Archimedes の原理により) N>
1/b|となる自然数Nを取れば、 0<1/N < |bとなる。 この時、la(N+1)-a(N) - a(1)| < 1/(N+1)
とならなければいけないが、一方でla(N+1) - a(N) - a(1)| = || > 1/N > 1/(N+1) となり矛盾
である。従ってb=0でないといけない。 この時 a(1) = aである。従って a(n) =D n.a(1)でなければ
ならない。
解答
2. そこで、a(n) =n.a(1) であることを示す。今ある自然数 m(> 2) が、a(m) + m.a(1) となると仮定
して、矛盾を示す。a(m) - m.a(1) = dとおく。dチ0である。
(Archimedes の原理により) M> 2m/|d となる自然数 M が取れる。 0<1/M <\d/2m となる。 こ
の時、
m
|m-a(1) + a(M)- a(M +m)|= {a(1) + a(M +k-1)-a(M+k)}
1k=1
m
k=1
m
Tm
<と1(M + k)<2VM = m/M < \d/2
k=1
k=1
が成り立つ。又、
も成り立つ。従って
m-a(1) - a(m)| =|{m.a(1) + a(M)- a(m+ M)}-{a(m) +a(M) - a(M +m)}|
<d/2+ Id/2 = |d
であるが、一方 |m. a(1) - a(m)| = \d であったから、矛盾である。
ロ

数列