Question

あ

幾何

写真の(2)の問題についてです
(1)で四角形BCEF,AFHEが円に内接することを証明したのですが、それを使って(2)を証明することはできるでしょうか？
私も模範解答と同じ別の２つの四角形を使うやり方しか思いつかず、なんとなく誘導に乗れてない気がしまして…別解があればぜひ教えていただきたいです

鋭角三角形 △ABCにおいて, 頂点 A, B, Cから各対辺
に垂線 AD, BE, CFを下す。 とれらの垂線は垂心 H で交
わる。このとき, 以下の問いに答えよ。
(1) 四角形 BCEF と AFHE が円に内接することを示せ。
(2) ZADE=ZADFであることを示せ

が成り立つならば, Qも同じ円周上にある。
【四角形が円に内接する条件】
一組の向かい合う内角の和が180°である四角形は円に内接する
また。ZAEH= ZAFH=90°より, 2点E, Fは共に辺 AH を直
径とする円周上にある。よって, 四角形 AFHEは辺 AHを直径とす
る円に内接する。
の
M
この答案でもぎりぎりセーフかもしれない。しかし, どういう定理
を根拠に論を進めているのかが明確ではない。「円周角の定理の逆」
を使っているところが本質的な部分であるから,それがわかるような
答案を書くのがベストだろう。東北大学の受験生であれば, ここに示
した簡単な書き方の答案はほぼ全員が書けるであろうから, 採点側が
採点基準を上げて採点をすることも考えられる。その場合は,減点さ
れる可能性もあるのではないだろうか。
くメインディッシュ>
A
F
AE
B-
C
D
3点B, C, Fを通る円は必ず存在する。その円をSとおく。
ZBEC= ZBFC (= 90 °)で,さらに点Fは辺 BCに関してE
じ側にあるので, 円周角の定理の逆により点Fも円S上にある。
ゆえに,四角形BCEFは円 Sに内接する。
また、四角形 AFHE において,ZAEH+ ZAFH= 180 であ
から, 一組の向かい合う内角の和が180°である。
よって,四角形 AFHEは円に内接する。
A
E
B
た
D
四角形 BDHFにおいて, ZBDH+ ZBFH=180°であるから,
組の向かい合う内角の和が180°である。
よって, 四角形 BDHFは円に内接する。 この円をTとする。
円周角の定理により, 円Tにおいて, 弧 FHに対する円周角の
きさは常に一定だから ZHDF=ZHBF …0
また,四角形 CDHEにおいて, ZCDH+ZCEH=180°である
ら, 一組の向かい合う内角の和が180°である。
よって,四角形 CDHEは円に内接する。この円をUとする。
円周角の定理により, 円Uにおいて, 弧EHに対する円周角の方
さは常に一定だから
さらに,(1)の結果より四角形 BCEFは円 Sに内接し,円周角の
| 理により,弧EFに対する円周角の大きさは常に一定だから
ZHDE=ZHCE …②
ZEBF=ZFCE
つまり,ZHBF=ZHCE …®が成り立つ。
ゆえに,O, 2, ③より
ZHDF=ZHDE
すなわち,ZADF=ZADEが成り立つ。
くデザート>
この答案例は, これ以上ないくらいに丁寝につくったものであな
問は,円周角の大きさが 90°という設定なのでもっと簡単な答案
方ができるが, 90°でない場合でも通用するような答案例を示した
例えば,(1)は次のような簡単な書き方もできるかもしれない。
(1) ZBEC= ZBFC= 90°であるから, 2点E, Fは共に辺 BCを
径とする円周上にある。よって, 四角形 BCEFは辺 BCを直径ど
る円に内接する。
-15-