Question

るお

次の等式がxについての恒等式となるように、定数a,b,cの値を定めよ。という問題です。解き方を教えてください！

1
a
bx+c
x+1 x+1
3
x?ーx+1
2

恒等式 数ⅱ 式と計算

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

としさん

x³ + 1 = (x + 1)(x² - x + 1) と因数分解できるので

1/(x³ + 1) = 1/{(x + 1)(x² - x + 1)} となるはずである。

a/(x + 1) + (bx + c)/(x² - x + 1) = {a(x² - x + 1) + (bx + c)(x + 1)}/{(x + 1)(x² - x + 1)}
なので

a(x² - x + 1) + (bx + c)(x + 1) = 1 となれば、題意を満たします。

a(x² - x + 1) + (bx + c)(x + 1) = (a + b)x² + (-a + b + c)x + (a + c) = 1

恒等式は、どのようなxに対しても成立するので、x²,x の係数＝０となれば良いです。

a + b = 0 ①
-a + b + c = 0　②
a + c = 1　③

①より b = -a , ③より c = 1 -a を ②に代入

-a + (-a ) + (1 - a) = 1 - 3a = 0
　a = 1/3

b = -a = -1/3
c = 1 - a = 1 - 1/3 = 2/3

(a,b,c) = (1/3 , -1/3 , 2/3)