Question

Ｙ

分数関数の問題です！
２枚目赤いセンを引いた部分がよく分からなくて、
こういう問題はどのように解けばいいのでしょうか？
最後の答えの求め方もわかりません。
どなたか、お時間ある方よろしくお願いします🙇‍♀️

形OP.Q. の
2x+1 り か
225. 関数 y=
x-1
のグラフと直線 y=kx-1 の共有点の個数を求めよ。

2x+1
225. y=
…0, y=kx-1
2 とおく。
x-1
のは y=
3
-+2 より,右の図のよ
kキ0\2 Y4 ||の
x-1
うな曲線になる。
2は点(0.-1)を通り、傾きkの直
2
線である。
Okの値にかかわらず, ①, ②
は点(0, -1)を共有点にもつ。
x
のと②の共有点のx座標は,
k=0
3
+2=kx-1, すなわち,
0
x-1
kx?-(R+3)x=0 3
の解である。
k=0 のとき。 グラフより, 0, ②の共有点は点 (0, -1)の1個23は, k=0 のとき1次方程
である。
kキ0 のとき。。③の判別式をDとおくと, 接するのは D=0 の
ときであるから, D=(k+3)?=0 より,
式になり,&キ0 のとき2次
方程式になるから, k=0,
kキ0 で場合分けをする。
k=-3
(ず六
0<p)
これは kキ0 を満たしている。
よって, グラフより, 共有点の個数は,
k=0, -3 のとき1個
kく-3, -3<ん<0, 0<k のとき2個

Answer 1

としさん

解答を見る前に解いてしまったので、解答とはちょっと違った解き方をしてしまいました。

(2x+1)/(x-1) = kx - 1 と置く （ただし、x≠1)

両辺に(x-1)を掛けて
2x+1 = (kx - 1)(x - 1) = kx² - (k+1)x + 1
kx² - (k+3)x = 0

k=0 のとき(2次式にならない)
　kx² - (k+3)x = -3x = 0　より x=0 の１個

k≠0 のとき
　kx² - (k+3)x = x{kx - (k+3)} = 0 より x=0,x = (k+3)/k

　x=1となってはいけないが x = (k+3)/k = 1 + 3/k ≠ 1なので常に問題ない。
　
　また k=-3のとき (k+3)/k = 0 となるので(重解) これを考慮すると

k=0,-3のとき 共有点 x=0 の１個
それ以外のとき 共有点 x=0,(k+3)/k の２個