Question

サスケ

図形の問題です。
この問題の解答は垂心であることの予想ができたうえでの解答だと思うのですが、選択肢が三角形の五心しか無いとして、なぜ垂心だと予想できるのでしょうか？

(図を書いてみて)
角度は求められなさそう→内心はなし
明らかに垂直二等分線の交点でない→外心はなし
明らかに中線の交点でもない→重心はなし
Oが常に三角形の外部にあることは成立しなさそう→傍心はなし

ってことで、垂心の可能性だけが残って、垂心の成立条件を確認してみたら垂心であることが確認できた、って感じですか？

例題
75
三角形の外心
直角三角形でない △ABC において, 辺 BC, CA, AB に関して外心Oと対称な
点をそれぞれP, Q. Rとする。 0は △PQR についてどのような点か。←例題74
A
指針 まず、図をかいて, 四角形 ARBO に注目してみよう。
Rは辺 AB に関してOと対称
OR は辺 AB の垂直二等分線
同様に,四角形 AOCQ も平行四辺形である。四角形 RBCQ に注目。
四角形 ARBO は,対角線がそれぞ
れの中点で交わるから平行四辺形。
R
ele-
B
C
A
解答 線分 ABと線分 RO はそれぞれの中点
で交わるから,四角形 ARBO は平行
四辺形である。よって
LAA
R
Q
の
RB/AO, RB=AO
同様にして、四角形 AOCQ も平行四
辺形であるから
|(線分 ACと線分Q0
はそれぞれの中点で
交わる。
9:95
2
B
C
AO/QC, A0=QC
0, 2 から
よって、四角形 RBCQ は平行四辺形であるから RQ/BC
RB/QC, RB=QC
P
1組の対辺が平行で、
これと OPIBC から
OPIRQ
長さが等しい。
同様にして
0QIPR, ORIQP
内分ることく
したがって,Oは △PQR の垂心である。
参考 直線上の点Xについて, lに関してXと対称な点はX自身
であると考えるならば, 上の議論は △ABC が直角三角形の m
0-場合も成り立つ。