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まず、公式から
平均値＝データの総和÷データの大きさ(個数)
分散＝偏差の2乗の総和÷データの大きさ(個数)
標準偏差＝√分散
今回は、点数を調整するので、データの個数は変化しない。
すべてに共通していて、データの調整で変化しないデータの個数をx個としてみる。
今回は、それぞれの点数すべて2.5倍して、さらにそれぞれの点数に30点を足している
ⅠⅠ
もとの点数より、それぞれの点数は2.5倍＋30点になっている
ⅠⅠ
点数調整後の、データの総和は2.5(もとの点数の総和)+30xになっている
調整前の平均値は68。すなわち、(もとの点数の総和)/x=68・・・①
調整後の平均値は、{2.5(もとの点数の総和)+30x}/x・・・②
①より、もとの点数の総和＝68x
これを②に代入して計算すると、(170x+30x)/x=200
よって、点数調整後の平均値は200である。
続く
別解・・・変量の変換を用いた方法
基礎事項
一般的に、u=(x-x0)/cすなわち、x=cu+x0と表されるとき、xの平均値＝c×uの平均値＋x0、
変量xの標準偏差の２乗＝c^2×変量uの標準偏差の２乗と表される。
今回はuが点数調整後の変量、xが点数調整前の変量であり、問題文より、
u=2.5x+30 ←ここからu=(x-x0)/cの形になるように変形していく。
=2.5(x+12)
=2.5(x+12)/1
=(x+12)÷1/2.5
であるから、上と見比べてc=1/2.5、x0=－12なので、
xの平均値＝c×uの平均値＋x0に代入して
68=(1/2.5)×uの平均値+(－12) よってuの平均値＝200
変量xの標準偏差の２乗＝c^2×変量uの標準偏差の２乗に代入して
36 ＝(1/2.5)^2×変量uの標準偏差の２乗
変量uの標準偏差の２乗＝変量uの分散＝225
変量uの標準偏差＝√変量uの分散＝√225=15
分からなければ質問してください。別解の方がやり易いです
ありがとうございました！
点数調整後は、もとの点数より、それぞれの点数は2.5倍＋30点になっている
そして、平均値は200になった
ⅠⅠ
調整後の偏差の2乗の総和は{(それぞれのもとの点数×2.5+30)－200}^2の和、すなわち、
{(それぞれのもとの点数×2.5－170}^2の和、である。
調整前の偏差の2乗の総和は(それぞれのもとの点数－68)^2の和、である。
すなわち、
調整前の分散は(それぞれのもとの点数－68)^2の和/xと表せ、
問題文より、調整前の分散は36ということがわかっているので、
(それぞれのもとの点数－68)^2の和/x=36・・・③
調整後の分散は{(それぞれのもとの点数×2.5－170}^2の和/x・・・④
③より、(それぞれのもとの点数－68)^2の和＝36x
すなわち、{(それぞれのもとの点数)^2－136(もとの点数)+4624}の和＝36x・・・⑤
※⑤は点数調整前の分散ですよね
④を展開すると、
{6.25(それぞれのもとの点数)^2－850(それぞれのもとの点数)+28900}の和/x・・・⑥
※⑥は点数調整後の分散ですよね
これに、⑤を代入したいから、⑤を6.25倍して ※⑤は点数調整前の分散ですよね
{6.25(それぞれのもとの点数)^2－850(もとの点数)+28900}の和＝225x
よって点数調整後の分散、すなわち、⑥は、
225x/x=225
点数調整後の標準偏差は√点数調整後の分散＝√225=15
分からなければ質問してください