数学
高校生
解決済み
数Ⅲ 複素数のn乗根
何故、0≦θ<2πの範囲で考えなければいけないのですか?
ご解説宜しくお願いしますm(_ _)m
oo 92リに9
上 折贅の。条
複素数 こ正の整数ヵに対して. 方程式 <?ニッ の解を, >の 2乗根
いう。 0 でない複素数の
z乗根は Z個あることが知られている。
10
まず, + の3乗根を. 極形式を利用して求めてみよう。
2 ルン= |z?| =| ドー 1 かっ |>0 より |<|=テュ
ik っ
三cosの十2sin の とおり55光 ド・モアプルの定理を用いると|
等式 <?ー1 は, 次のように表される。 ue
cos3のZsin39ニcos0+zein0 講
両辺の偏角を比較すると, 39=0
924g となる。0ミ6<く2z の
の 3 乗根は 3 個あり, 次の束
るン。 699 をjs
we
15
る
を=0 のとき ぇ=1
る1
SS
Eb ごーー ソ』 と ニ王 一一一 ーーーーー
1 のとき ぇヵ」 5 5 2 N
1] へ| る2o
ぉぁー92 のときき 。 IKE ai 1 テ
た ー のとき 2 2 2 2
還 こぶる、これらが1 の3乗根である。 、
2
右の図のように、3点ze。<。。るは 記
単位円の眉上にあり、 円周を 3 等分する点である。
よっつて、これらの点は単位円に内接する正三角形の頂点になっている。
(補足〉 ZZ三3 のとき。 1 の計 ー
頂点である。とく:5
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何故、単位円が関わってくるのですか?