Question

あめ

K が実数体 R のときを考え，A = R[X]/(X^3 − 2) として、A は，R と C の直積環 R × C と環として同型であること、A が整域かどうか、a∈Aでa^4=1となるものの個数を知りたいです。
最初のは中国剰余定理を使って考えてみました。
この定理を上手く理解できず止まっています。ほかの問題もなかなか上手く出来ません。宜しくお願い致します。

Answer 1

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X^3-2 = (X-2^(1/3)) (X^2+2^(1/3)X+2^(2/3))
f(X)=X-2^(1/3)
g(X)=(X^2+2^(1/3)X+2^(2/3))
とする.

前の問題と同様に
Xに2^(1/3)を代入する準同型写像を考えれば
R[X]/(f(X))=R ① (単に余りが実数であるからとしてもいい)
Xに2^(1/3)e^(iπ/3)を代入する準同型写像を考えれば
R[X]/(g(X))=C ②　 (余りの一次式aX+bを複素数 a{2^(1/3)e^(iπ/3)}+b と一対一対応させている)
①②より
R[X]/(f(X)) × R[X]/(g(X)) = R×C ③
fとgは互いに素だから中国剰余定理より
R[X]/(f(X)g(X))=R[X]/(f(X)) × R[X]/(g(X)) ④
③④より
R[X]/(f(X)g(X)) = R×C

Aが整域⇔R×Cが整域
であるが
(1,0)·(0,1)=(0,0)
となるのでR×Cには零因子が存在するゆえ整域ではない.
(これをAで考えると (fgの倍数ではないがfの倍数)·(fgの倍数でないがgの倍数)=fgの倍数=0)

AとR×Cは環として同型だからAの演算をR×Cでやってもいい
(r,c)^4=(1,1)
r^4=1 かつ c^4=1
r=±1 かつ c=±1 or ±i
(r,c)=(±1,±1) or (±1,±i) 複合任意
で8個

中国剰余定理,多項式環

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訂正
誤 e^(iπ/3)
正 e^(i2π/3)