Question

とも

問２の問題は少しは太刀打ちできるかなと思ったのですがやっぱり解説がないと手も足も出ませんでした、、。
申し訳ないですが、１から３まで解説していただけると助かります🙇
ランダウのスモールoは教科書や参考書に乗ってなくて、なんのことだかよくわかりません。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Take

とも様

解答してみました。
参考にしていただけたら幸いです。

解析学 微分積分

とも

ありがとうございます！ちょっと解いてみます！
わからないことがあったらまた質問させてください😂

哲治

Takeさんの解法、説明ともに美しくてわかりやすいですね。とても勉強になります！
蛇足ですがtanxのマクローリン展開の部分だけ、載ってないテキストも多いのでネットから補足記事だけアップしておきました。

とも

哲治さんありがとうございます！！とても助かります😭

とも

最初の二問は無事に解くことができました！ありがとうございます！
3番についてなのですがランダウ記号が理解できません。。

哲治

Takeさんの説明その通りです。
ネットのウィキから引用してきました。

哲治

続き

哲治

最後のは僕の解析のテキストから

哲治

たぶんこのウィキの具体例の説明はすごくわかりやすいと思います。
この記号は左右を慣例で=で結ぶのですごく誤解しやすいので注意してください。
ただ微積分学では常識レベルの記号であり、概念なんで。 まずは級数展開を理解してください。
テイラー展開、マクローリン展開も２変数のパターンも３編では当然出てくるので。桜井本にも。

哲治

三角関数とe^xとlog(1+x)とかのマクローリン展開は微積分学ではもはや覚えてて当たり前です。
合言葉みたいな感覚ですね。

とも

マクローリン展開の計算はできますがまだ暗記してるくらいの領域には達してないです、、笑
ランダウのスモールオーで表してるのは、4次以上の項がxが十分に小さい時に0に収束してるって感じですか？

哲治

どの部分ですか？書いてもらっていいですか？

とも

Takeさんの解答の問３の最後の＝から始まる行です。

哲治

ゼロに収束するのはもちろん全部します。x^nの項なんで。ただo(x³)というのは(x⁴以降の項は)x³の項よりもはるかに早くゼロに収束するという意味ですね。
つまり近似の際に、スモールランダウの項はまとめて無視できるという意味ですね。

哲治

つまりこの問３はf(x)の三次近似を求める問題はという意味です。

とも

なるほど、ありがとうございます！
厳密な定義までは理解できませんが、問題を解く分には支障がない程度に理解できました！Takeさん、哲治さん本当にありがとうございます😭

哲治

つまり級数展開とはある関数の無限次数の近似なわけなんで。
しかし、工学などの現実世界では不要なんで、三次式、四次式とか現実世界で必要な精度まであれば十分なわけなんです。
だからスモールランダウの部分はいわば、誤差、端数というような感覚ですね。

とも

つまり今回だと3次までぼテイラー展開を求めよって言われてると考えて大丈夫ですか？

哲治

そうです。あとマクローリン展開ですね。

とも

あ、マクローリン展開の方が正しいですね

とも

なんも難しいことなかったんですね、、笑笑
本当に助かりました！

哲治

ただこの問題ではlog(1+x)とtanxの二重になっていて、計算する際に係数が足し算になる。
その部分が難しいけど、原理は説明したとおりです。

とも

ありがとうございます！！