Question

ペンローズ

矢印のところからの解説がよくわかりません
教えてください🙇‍♂️🙇‍♂️

に

5            第2章 電磁気の開何学

'(の   8証人り  0/
lsの| lo 0 コ11Zの1     (259)
e*(の   0 1  0  〆⑨め

和隊凍特に置こう) は 4210 の:飲分さ4ー 0 で計算したもゃので

 

ある・:
UN      d41(の
IRONSO  ー1 1 =   d    頁 5              (230)
(DNSNNWUU              叶
っまり行列 o は配位空間 9O(3) の原点ぇ三0  (すなわち単位元7) における接

ベクトル (tangent vector) である. 他の 4.() について ゃ同様に微分してミっ

の独立な接ベクトルが得られる ・

0 0      (0)まUli      U義まN0
iM0NR0S も15T 02一  OS0O 0の
0渦中計上U     -1 0 0      0

一般にリー群の原点における接ベクトル空間をリー環とい う (補足 2.13 参照).
群 5O(3) の接ベクト 空間として得られるリー環を so(3) と表記する.  上記の
{an, gs, gs} は so(3) の基なのである.

逆に (2.29) を微分方程式だと考え (任意の初期条件 z(0) = (gz,の)” を
与えて) これを積分すると, a の指数関数として 41() が生成される :

ue)            0
eむーー|0 cosz 一sint                                30
0 sin?         coS4
任意の 〈ベクトル〉
(232)

⑭ 三 4の1 十 の2Q2 十 0sQs E s0(3)

 

についてもゃ同様にこれを積分して回転 4() = e? が得られる. つま り 〈ぐ2
トル〉 (e リー環) を積分して運動 (G リー群) が生成される. (ベク トル) 9

 は生を生じる(4) を生成する) 行列 (作用素) 。 であること に注意しょ
う. (2.32) を行列の形で書く と

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Crystal Clear

この微分方程式の解は行列の指数関数で表されます。具体的な形(2.31)はaを対角化して計算してください。
https://math-fun.net/20191216/4146/

回転の微分としてa1,a2,a3が出てくるが、それを積分すれば元の回転が得られる、ということです。回転群を幾何的な対象と考えてa1,a2,a3をその接空間の基底と考えます。接空間は数学的な意味でベクトル空間だが、ajたちの形は行列である、という内容です。

リー群 リー環 回転群 生成子