✨ ベストアンサー ✨
その不等式が成り立つことを示したいので, 最初の式変形を答案に書くのはまずいです.
[数学者はこういうことはとても嫌います. 入試だと0点にするかもしれません.]
解答と同じく2乗の差をとって正であることを示す→適切な理由を加えて所望の不等式に出来る.というステップを踏みましょう.
あとは論理をもう少し大事にしてほしいです.
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a>1, b>1ならば, √a>1⇔√a-1>0, √b>1⇔√b-1>0であることに注意します.
[不等式の問題は, 計算用紙で試行錯誤, そして解答を整理した方がいいかもしれません]
このとき(√a+√b-1)^2-(√(a+b-1))^2
=(a+b+1+2√ab-2√a-2√b)-(a+b-1)
=2(√ab-√a-√b+1)
=2(√a-1)(√b-1)>0がいえます.
[評価の結果が分かりやすい形にしよう]
ここで√a+√b-1>1+1-1=1>0, √(a+b-1)>0なので
[A^2>B^2ならばA>BはA>0, B>0のときです. A=-3, B=2のような場合を思い出しましょう]
不等式√(a+b-1)<√a+√b-1が成り立ちます.
おっしゃってることは、理解して納得できました。ですが、添付した写真の他の問題は、大きい方から小さい方を引いて計算していて、私の答案と同じようなやり方だと思うんですけど、なぜ今添付した写真のやり方はOKで私の最初のやつがNGになるのか教えてほしいです
横やり失礼します&変なとこで送信してしまったので書き直しました↓
まなほさんのやろうとしてる感じでもいけないことはないと思います。
元の不等式は両辺ともに正だから、それぞれ2乗した不等式の成立が示されれば元の不等式の成立が示される、ということを明示したあとに、(右辺)−(左辺)より〜以降を続けて書けばいいと思います。
まあでも最初の解答だと説明がないので✘にされるでしょうねー。
解答ありがとうございます！納得出来ました。
両辺を2乗して差分をとることはまったく問題ありません.
a>1, b>1のとき, 不等式√(a+b-1)<√a+√b-1が成り立つことと, 両辺を2乗したa+b-1<(√a+√b-1)^2が"同値である".
したがって両辺の2乗の差をとることで正負を調べる
という方針の説明がないと, 結果の式をただ式変形[結果を仮定している最初の3行が致命傷]しているだけに見えてしまいます.
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そこで解答と同じく最初から2乗の差をとって正負を調べる, という答案のまとめ方をした方が採点者には誤解されにくいです.
記述式の採点では論理や表現の正確さに注意を払います.
まなほさんの答案は全体的にそのような説明が足りないので, そこの部分を磨くように頑張ってほしいです.
丁寧に添削していただきありがとうございます！今後に活かしていきたいとおもいます！
[訂正] 語弊を招く表現だったので, 下に差し替えてください
A^2>B^2⇔(A-B)(A+B)>0.
①A>0, B>0のときはA>Bならば成り立ちます. たとえばA=3, B=2
②A>0, B<0のときはA>|B|ならば成り立ちます. たとえばA=3, B=-2
③A<0, B>0のときはA+B<0, すなわち|A|>Bならば成り立ちます. たとえばA=-3, B=2
④A<0, B<0のときはA<Bならば成り立ちます. たとえばA=-3, B=-2