Question

ペンローズ

2枚目にある2行目の「ここで(6.1.2)式は〜」のところと、次の段落の「さて今の場合〜」と書いてあるところがよくわかりません
どなたか教えてください🙇‍♂️

系の運動を解くとは 万一0 となるよう なIT
る.                                    に

5.3 節で紹介した 記(9,選のり のタイ プの了母関数の場合
の条件は

9
EC   NG り =      (61.2)

目(5.3.18) 式よ り 刀"=0

 

2                  が の7  > 9g!「     2 9た 2
と書ける. この式の解となる 瓦(9,選おは, ハミルトンの主関数(Hamilton's
principal fanction) と呼ばれ, 9 と書かれることが多いので, 通常は (6.1.2) 式を

99            85
ーー INONまCN当
3    (< 8 り    0                          (6.1.3)

と書き, ハミルトン-ヤコビ方程式 (Hamilton-Jacobi equation) と呼ぶ.

(6.1.3)5共は二91 NONSUNのODNGNAわ (だ 十1) 個の変数をもつ関数ぐに
対する 1 階偏微分方程式である. したがって, その人解は

6.1 ハミルトン-ヤコピビ方程式 | 69

9=8(のjoなもon af) oo         (6.1.4

 

 

 

 

のまうにpo)ol FT の(だ1) 個の積分定数をもつ. ここで (61.2) 式は
加導の彼分だを合むの 横分叫数のうちの1 個は単なる定数項 o” に選べるこ
とを用いた.

さて今の場合 (選@) はいずれもゃ定数みなので, 9=ニ5(g, 用のり を特に ol,… ,oテ
の 個の積分定数が運動量 {P*}] となるような正準変換の母関数(9,e,りであ
ると考える.、 さらに, Q* が定数であることを明示的に示すために /* と書き直す
ことにずれば,に(5.3:13) 式を

の* ーー 95(g, o,ひ     2(三 ⑨の8 2 95(g, o, の

のg*                  のOo
と書き換えをることができる. この式はgとゎ に対する代数方程式 (微分方程式で
はなく) なので, 原理的にはそれらを連立して解いて g三 9(o, , の, p三Z(o, 8, の
が得られる. 実際には. この方法で解くほうが難しいことも多い (例題C.10) の
だが, 一般論としては有用な場合もある. 本章で紹介する天体力学への応用はまさ

にその例である.
ところで, (6.1.4) 式の時間微分をとると

9 95 9の5 gg
2の4ニーガロ のD0 一ア ニン> ら王 月との        6.1.6
の 72        3                          OO

 

 

(6.1.5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

が成り 立つことがわかる. つまり実はいハミルトンの主関数は (定数を除いて) 作
と一致する。 慣用的に 9 という記号が使われるのはそのためである.

間細BEEESSEEEEESSSSSSSSSSSNラeS とeZのニ7が7きこリトーーアン

ハミルトン-ヤコビ方程式

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

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積分定数は
S=e^(α1q3)+α2q4
のように関数に組み込まれている可能性があるが、(6.1.2)=(6.1.3)の解であることから
S=関数+α0
の形で定数項として積分定数が入っている。
(ある解Sに定数α0を加えても6.1.3の解になる。つまり一般解には定数差の任意性がある。)

うまい正準変換(q,p)→(Q,P)によってハミルトニアンがH(q,p,t)→H'(Q,P,t)=0にした。このとき、新しい座標での正準方程式(ハミルトン方程式)は
dQ/dt=∂H'/∂P=0
dP/dt=∂H'/∂Q=0
よってQとPは定数になる。

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訂正
dP/dt=-∂H'/∂Q=0

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ちなみにこの本なんて本ですか？説明が丁寧で読みたくなりました。

ペンローズ

東京大学出版会が出している「解析力学・量子論　第2版」という本です

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ありがとうございます。須藤さんの本だったんですね。友人が使っていて分かりやすいと言っていました。量子論とのセットで薄めの本だったので表層的な本だと思い込んでいました。機会があれば読んでみたいと思います。