Question

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ベクトルの問題です(写真見にくくてすみません。)

問題文『△ABCの辺BC,CA,ACをそれぞれm:n(m＞0 n＞0)に内分する点をP,Q,Rとするとき、△ABCと△PQRの重心は一致することを示せ。』の解き方で、

私は△ABCと△PQRの重心をそれぞれベクトルで表して変形したら一致するかなーっていう(曖昧な)方針で進めたんですけど、多分答えがこれだと出ないみたいです。

どうしてこの解き方がダメなのかと、どうやって解けばいいのかを教えて欲しいです。お願いします。

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Answer 1

えだまめ🫛

基準となる点Oを設ける
△ABCの重心を点G,△PQRの重心を点H とする
点Oからのベクトルをそれぞれ
ベクトルOA = a
ベクトルOB = b
ベクトルOC = c
ベクトルOG = g
ベクトルOH = h
ベクトルOP = p
ベクトルOQ = q
ベクトルOR = r とする

m:n の内部は
p = (nb + mc)/(m+n)
q = (nc + ma)/(m+n)
r = (na + mb)/(m+n)

重心は
g = (a + b + c)/3

h
= (p + q + r)/3
= {(nb + mc)+(nc + ma)+(na + mb)} / {3(m+n)}
= {(m+n)a + (m+n)b + (m+n)c} / {3(m+n)}
= ( a + b + c ) /3
= g

よって　点Gと点Hは一致する

えだまめ🫛

「内部は」→「内分は」です

Answer 2

あ

その方針で解けると思います。
たぶん重心の公式が違いますよ。
→g={→(AA)+→(AB)+→(AC)}/3
が正しいと思います。
ちなみに→(AA)=0になります。