Question

なず

不等式が成立することを証明する問題(2)が解けませんでした。

二重階乗が入っていてどう処理すればいいかわかりませんでした。またはそもそもこんな解き方じゃなかったのかもしれません。

どうやって解けばいいでしょうか？よろしくお願いします。

関数 廊(<) (7 e R) を

で定める. ただし, c, は正の定数で

 

となるように選ぶ. 以下の問いに答えよ.

(1) zeRNに対して

を求めよ.

(2) すべてのzeRNNに対して c。 <

(3) 0 <z ミィ のとき,

 

 

 

lim 太(z) を求めよ.

7みOO

し信
に (Be svwx = 則 we. swx の

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不等式 帰納法 積分

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Crystal Clear

(1)(1+cosx)/2=cos^2(x/2)です.答えは2/(n+1)
(2)∫((1+cosx)/2)^n sinx dx < ∫((1+cosx)/2)^n dx　から　2/(n+1)<1/cn

なず

回答ありがとうございます！

なんと三角関数間違えたなんて恥ずかしいです…。
sinのつく関数の比較…、思い出しました。こんなところにも使われるんですね。

なず

解き直して一つ引っかかった点があるんですが、不等式の両辺に積分を取っても同値だとしたら、1≧sinx⇔∫dx≧∫sinxdxになって等号がついてちゃいますね。グラフでなんとなく等号はないってわかるんですが、なら実はどういう変形なんでしょうか？

Crystal Clear

イコールなしの区間が少しでもあればいい。

区間(a,b)a<bでf(x)≦g(x)であっても、(a,b)の中の区間(c,d)c<dでf(x)<g(x)なるものが存在すれば、
∫[a,c]f(x)dx≦∫[a,c]g(x)dx
∫[c,d]f(x)dx<∫[c,d]g(x)dx
∫[d,b]f(x)dx≦∫[d,b]g(x)dx
となるので、辺々加えて
∫[a,b]f(x)dx<∫[a,b]g(x)dx
となる。

今回の場合は等号はx=0とx=πだけで(0,π)でイコールなしなので積分したあとのイコールはなしです。

なず

なるほどです。普通の変形じゃないんですね。不等式の復習にもなりました。問題解くときは直接sinのほうが小さいって書いたほうがよさそうですね。

度々すみませんが、三問目も解けませんでした。Cnの極限が∞になって結果が∞×0の不定式なりそうです。よければ教えていただけませんか。

Crystal Clear

αを使うところがポイントです。

Crystal Clear

いや、使う必要ないですね。

なず

ありがとうございます！2つ目は結構簡単になりましたね！やはり二問目の誘導は大事でした。(n+1)/2が∞になりそうの見て使うのやめましたが、(cosx/2)^2nと一緒にロピタル使えるのまで見越せたら解けてましたね。