Question

ちげ

来週の数学の授業で答えなければなりません。
解答のみ配られていて、解説はありません。
自力では全くわかりません。。。
どなたか解ける方いらっしゃったらお願いします！！

面語   難易度 太文友      目標解答時間 18分   本

  

右の図のように, 三角形 ABC の辺 BC 上 (両端を除く) に100
個の点Pi。 P。。 …。 Pi を, 辺CA 上 (両端を除く) に 100 個の
点 Qi。 Qz。 …。 Qim を, 辺 AB上 (両端を除く) に100個の
点 Ri。 Rz。…。 Ri をとり, 300 本の線分 AP、AP。。…, APiw,

                                                                                                                                                                                                                                                                 

BQ。 BQz。…。 BQio。CRi、CR。。 …。 CRie を引く
ただし, この 300 本の線分のうちどとの 3 本も三角形 ABC の内部

の同一の点で交わることはないものとする。以下, 三角形 ABC の

内部を とする。

このとき, 戸がこの 300 本の線分によっていくつの部分に分けられるかを

針によって求めよう。

1)

以下の(1) (2)の二つの方

 

 

 

 

方針 1
まず, 3 本の線分 AP BQi CR」 を引き, 次に 3本の線分 AP BQ。, CR。 を追加して引く

というように, 線分を 3本ずつっ追加していき, 分けられた部分の増加する様子を調べる

 

3z 本の線分 AP AP AP BQ」。BQ。 …, BQ,。 CRi, CRz。…, CR。 を引いたとき,
万がこの 3z 本の線分によって 個 (ヶ 1、2, 3, …. 100) の部分に分けられるとする
まず, 3 本の線分 AP上BQOGRjを引くと はピア 個の部分に分けられるので, の=ニア 1]

である。
さらに, 線分 AP。 を引く と線分 APz はすでに引いてある 3 本の線分 AP,. BQi, CRiのう

ちしイー」本と たで交点をもちこの四半個の交点によって線分 AP。はしウー]個の線分に分け
られる。 したがって, 刀は線分 AP を引く ことによりしウゥ ]個だけ多くの部分に分けられる。
同様に考えると, 線分 AP, を引いたうえで線分 BQ。 を引くことにより, 万はさ らにしエ ]個だ

け多くの部分に分けられ。 線分 AP と線分 BQz を引いたうえで線分CR。を引くことにより, がは

さらにしす ]個だけ多くの部分に分けられる。

したがって
みニの| ウ |還計軸還32がal

すなわち, 数列 (Z。) の階差数列の初項は| カキ |であることがわかる。
ァー] 2の3計 99 のとき, 3z本の線分 AP APz。…, 旗軌GO BO。 …, BQ。, CR

CR …。 CR。によって, がg個の部分に分けりれでいるときに, さらに線分 AP を引くと,
線分 AP。, はすでに引いてある 3 本の線分のうち 還外本とで交点をもち, この[し ク |個の
交点によって線分 AP。。」 は 個の線分に分けられる。したがって, がは線分 AP を引くこ

とにより[| ヶ ]個だけ多くの部分に分けられる。
同様に考えると, 線分 AP。i を引いたうえで線分 BQ。』i を引くことにより, はさらに

コー] 個だけ多くの部分に分けられ, 線分 AP。」と線分 BQ。。」 を引いたう えで線分CR。。」を引く
ことにより, 末はさらにしチ 個だけ多くの部分に分けられる。

テコーレラーに当てはまるものを, 次の0⑩-⑩のうちから一つずつ選べ。 同じものを繰り返
し選んでもよい。

inテのしテト上生語較還間Hi
なゎち、 数列 (z。) の階差数列の一般項は 還選(/h1) である
     6                ことがわかる。
以上により, 数列 tg』 の第 100 項Zi を求める@とにより.選は 300 本の線分に
の部分に分けられることがわかる       珠分によってIスセタ

2

 

   

 

まず 0水引 AP」。 APz。 …。 AP を引き,が何個の部分に分けられるかを考え, 次に
100 本の線分 BQ」 BQ。。 …, BQw を追加しで引き。 分けられた部分が何個増加するかを考え,
さらに 100 本の線分 CRi。 CR。。 …。 @Ri靖を追加で引き, 分けられた部分が何個増加するか

を考える。

 

 

100 本の線分 APi。 APz。 APi を9と はしツ |個の部分に分けられる。

次に, 100 本の線分 BQi。 BQ2 下 BQiWを追加じで引くと 各線分BQz(を=ニ1, 2. 3 っ
100) はそれぞれ, すでに引い<ある 100 本の線分 APi。 AP …… APi。 としテ ]個の交点を戸
個の交点によっで線分 BQ。 はそれぞれトー 個の線分に分けられる

 

 

 

 

でもち, との|園亡
Pコーー に人還6遇9 次の0⑩-⑳のうちから一つずつ選べ。 同じものを繰り返
し選んでもよい。

0w 0 9 @ 0語9記に       ま        9
したがって. は100 本の線2 BOBQ5議 6 あ箇lで引く ことにより, ミヌネン|個だ

け多くの部分に分けられる。
さらに、 は 100 本の線分 OR CRZ 隊病GEESIS のつmT
了             3 」 200 本の線分によってビッタチ] 個の部分に分けられること

け多くの部分に分けられるので 大
2                                  公式・解法集 看 回

20100 個

等差数列 シグマの計算