Question

なず

重積分の変数変換後の領域の問題(1)が解けませんでした。

二枚目が答えかと思いますが、尋常じゃないのがわかりますよね。こういう連立不等式はどうやって解きますか？

よろしくお願いします。

6.8

次の重積分に関して以下の問に答えなさい.

7 // 二 オタ  sin(十9) のの

 | 1 <り<2, 0 <z <

 

 

(1) 積分領域わをぃニーァ十ooニー こ の関係で (w,?) へ変数変換した場

 

 

 

合のに対応する積分領域

 

 

 

 

を求めなさい.

タダ
を の とする. 0-xy 平面での カ, および, O-wy 平面での の′ を図示しなさい.
の 9のo
ーー      _ (の%の9    9のz の
(2) 関数行列式 (ヤコビアン) 7(z,9) = 2z の 三 det  9
のy 9のy

(3) 重積分7 の値を求めなさい.

 

 

(千葉大類 28)       (固有番号 s281203)

入力:

u       wuY   u
ミーー =2.0= ーーミーー!
ャ+1ユ     リキ1 ツキ1

不等式のプロット:

 

6

4

 

 

 

 

u, vVを正と仮定した場合の別の形:

2ys

重積分 変数変換 不等式

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Crystal Clear

答えはあっています. が導出であやしい議論があるので指摘しておきます.
④×③からu≥0, v≥0を導出していますが、u=0のときは0≤0≤0となるのでv≥0は導出できませんし、そのあとで③の逆数をとっていますがu=0のときはそれができません.

簡単な処理の仕方
④の両辺をu/(v+1)で割ると(③からこれは正であることが保証されている)、0≤v≤1 ⑥
このもとで③の分母(正)をはらって整理すると、(1/2)u-1≤v≤u-1 ⑤
⑤⑥がD'の領域を与える.

初めに②でx=vyでxを消去する方法も楽です.

なず

回答ありがとうございます！

びっくりですがわたしの答えあってたんですか？二枚目のような結果にはなってなかったんです。そっちのほうが正解だと思うんですが。

Crystal Clear

wolframalphaは機械的に式を処理していて、こちらが期待している式の形を出力するとは限りません. (向こうもどの形の式を要求されているかわかっていない.)
領域プロットも⑤⑥と一致しているし、解と書かれた出力もよく見ると⑤⑥と同値であることが分かります.

なず

なるほど、よく見たらx軸としてる変数が違うみたいなので、uとvを逆にすれば同じになるかもですね。

あと一つ疑問ですが、こういう連立不等式ってどこまで解けば答えだって言えるんですか？最後になって1<xみたいな半開区間になることもあるのでもうこれでいいのかもやもやします。

Crystal Clear

x,yの存在条件として処理すると同値性が保たれるので紛れがありません。形式的にいうとx,yの消去で存在記号をなくせばいいです。

なず

こうやって見ればはっきりわかりますね。でもこの書き方慣れてないので、心の中でこんなのがあるの知ってればいいか。2つの条件も使われてて元の変数も消えてたら大体完成ですね。

Crystal Clear

存在条件の処理は応用範囲が広い考え方なのでマスターできていると良いです。慣れてしまえば機械的に処理できるので私は愛用しております。

Youtubeに解説動画がありました。このシリーズは他の回も良さそうなので暇なときに見るといいかもしれません。

https://m.youtube.com/watch?v=MqqYFUB8-Ow&list=PL5Pahvi5ekKfANiPvUPgKKIpdyayZaum_&index=17

なず

おおー！いいですね。ありがとうございます！

なず

おおー！いいですね。ありがとうございます！