ページ3:

太郎:正弦, 余弦の値がともに有理数になる場合,これを利用してピタゴ
ラス数の組を見つけることができるね。
花子:そうだね。 でも, 正弦, 余弦の値が無理数であるものからは見つ
つけられないのかな。
そこで,二人は値が無理数である正弦, 余弦からピタゴラス数の組を見つ
けることができるか考察してみた。
4
π
【ス】
【タ】
(3) cos 20:
-
0<曰く のとき, sin0
=
coso= =
5
【セン】
【セン】
である。
【ス】
【タ】
4
太郎 : sin O
=
,coso =
とおくと,
cos 20
=-9
sin 20
=
【セン】
【セン】
5
となり,ピタゴラス数の組 (3, 4, 5)を見つけることができるね。
3-5
花子: うん、 正弦, 余弦の値が無理数であるものからも見つけることが
できたね。

ページ4:

第1問 三角関数♡ 自学 ©Akagi
3
4
(1) sin a
=-9
cosa =
5
5
倍角(2倍角)の公式により
34
sin2a=2sinacosa = 2x -X-=
5 5 25
24
2272
cos2a=1-2sin' a=1-2×2=125
相互関係や加法定理でも
求められるよ
sin2a=2sin a cos a
cos2a=cos2 - sin² a
a
cos 2a = 1-2 sin² a
cos2a = 2cos2 α-1
3
4
5
12
(2) sin a
=-9
cosa
sinẞ
=
, cos B
5
5
13
13
加法定理により
シン・コス
コスシン
sin(a + β)= sinacos β + cosa sin β
3 12 4
=-x+ ×
5 13 5
5|13
=
符号注意
4 12
3 5
33
cos(a + β) = cosa cos β - sin a sin β
=-x
×
=
コスコス
シン・シン
5 13 5 13 65
5|6|38|
4
π
π
(3)
cos 20
20 <
0<20<-
sin2日も cos20も正
5
2
2倍角の公式により
cos20=1-2sin 20:
.. sin² 0
-
4-5
1
..sin =
相互関係により
cos0=√1-sin'0
=
10
3
√10
√10
2

ページ5:

数学Ⅱ, 数学 B, 数学 C
第2問 (必答問題) (配点15)
以下の問題を解答するにあたっては, 必要に応じて 10, 11 ページの
常用対数表を用いてもよい。
(1) 4' の, 10 を底とする対数を計算することによって, 4'の桁数を求め
よう。
41 = 2 【アイ】
であるから, 常用対数表で1ogo 2の値を調べ,その値を用いると
10
【ウ】 <log104 【ウ】 +1
10
である。
よって, 4'は 【エ】桁の数である。

ページ6:

(2)太郎さんは, 日本の 65歳以上の人口の推移について調べるために,
1965年から1990年までの5年ごとの65歳以上の人口を下の表 1
にまとめた。 なお, 1900 年から経過した年数をx (年) とし, (1900+x)
年のときの日本の65歳以上の人口をN (万人)とする。
さらに,太郎さんは, Nはxの指数関数であると予想し, y = logo N
として, N に対するyの値を常用対数表で調べ, 表1に追加した。
表 1 日本の65歳以上の人口の推移
x
65
70
75
80
85
90
N
623
740
886
1065
1247
1489
y
a
2,86922,9474
表1のαについて, 623=100×6.23であるから
logo 623= 【オ】+logio 6.23
よって
a= 【カ】
である。
【カ】 の解答群
⑩ 1.3729 ① 1.7945 ② 2.3729 ③ 2.7945
(数学Ⅱ, 数学B, 数学C第2問は次ページに続くよ)

ページ7:

太郎さんは次のように考察した。
太郎さんの考察
表1を用いて, xy平面上に点(x, y) をとると, 直線状に点が並ぶ。
その直線の方程式をy=mx+n(m, nは定数) …(*) とする。
表1より, 2点 (65,a), (75, 2.9474)を通る直線の方程式が(*)である
と仮定すると
m=【キ】, n= 【ク】
である。
【カ】 の解答群
⑩ 0.01529
(3) 1.80065
10.1529
② 1.529
④ 18.0065
⑤ 180.065
太郎さんは,この考察が正しいか調べるために,(*)を用いて得られる
x=90のときのNの値と, 実際の1990年の65歳以上の人口について,
どのくらいの誤差があるか調べてみた。
(*)より, x=90のとき,y=90m+nであり, y = logo N を用いて N の値
を調べると, 表1の1489 との誤差の絶対値は 【ケ】であった。
【ケ】の解答群
⑩ 1未満
① 1 以上 11 未満
② 11 以上 21 未満
③ 21 以上 31 未満
④ 31 以上 41 未満
41 以上

ページ8:

第2問 ♡指数対数関数♡ 自学 © Akagi
(1)4'°=(22)' = 22×10 =22
20
=
①
①の両辺に底 10 の対数をとると 10gio
410
=
= 10g10 220
= 20xlogio 2
logo 2 = 0.3010より
= 20x 0.3010
=6.02
よって6<log10
6<log 4' <6 +1 ⇒ log, 10° <log 4'° <log 107
10
10
こっち
であるから4'は7桁の数。
(2) 623=100 x 6.23=102x6.23であるから
log 10 623 = log 10 (10² × 6.23)
= logo 102 + logo 6.23
数
0
1
2
3
=2+10g 6.23
表から1ogo 6.23=0.7945だから
5.9
5.5 .7404
5.6 .7482 .7490
5.7 .7559 .7566
5.8 .7634 .7642
.7709 .7716 .7723
.7412
.7419
727
.7497
.7.05
.7574
.7.82
.7649 .7057
.731
6.0
a = 2 +0.7945
.7782
6.1 .7853
.7789
.7796
.7 03
.7860
.7868
.7 75
6.2
.7945
= 2.7945
6.3
.7993 .8000
.8007
.8014
6.4
.8062 .8069
1.8075
.8082

ページ9:

(2) つづき
2点 (65,2.7945),(75,2.9474) を通る直線の方程式がy=mx+n
であると仮定する。 それぞれの座標の値を代入して連立方程式を解くと
2.7945=65m+n
2.9474 =75m+n
⇒>> m=0.01529, n=1,80065
y=0.01529x+1.80065にx=90を代入すると y=3.17675
よって, 3.17675=logo Nを満たすNは
log 10 N = log 10
103.17675
∴.N=103.17675 = 1000x100.17675
ここで, 100.17675 = X とおくと 0.17675=logio X
.. X=1.50...
よって
N=1000×1.50…=1500....
したがって, 1489 との誤差の絶対値は 11 以上 21 未満。

ページ10:

数学Ⅱ,数学 B, 数学 C
第3問 (必答問題) (配点22)
座標平面上に2点A(0, 1), B(0, 2)と,円 C:x2 + y2 + ax + by + c = 0
がある。 ただし, a, b, cは定数とする。
円Cが点Bを通るとき,【ア】+【イ】b+c=0 である。
円Cが2点A,Bを通るとき, b=【ウエ】,c=【オ】であり,円Cの方程
式は
2
2
a
【キ】 α² + 【ケ】
x+
+y
=
【カ】
【ク】
【コ】
と表される。
以下,b=【ウェ】, c=【オ】 とし, a<0とする。
【サ】
(1)円Cがx軸に接するとき, 円Cの半径は
であるか
るから
【シ】
a =
【セ】
であり,このときの接点をDとすると
である。
D(√【y】,0)
(数学Ⅱ, 数学 B, 数学C第3問は次ページに続くよ)

ページ11:

(2) x軸上に点E (3, 0) をとる。 点Eが円Cの内部にあるようなαの値の
範囲は
である。
【タチ】
a
【シ】
(3)円Cがx軸と異なる2点で交わるとき,円Cがx軸から切り取る線分
の長さをLとする。 L を αを用いて表すと
【テ】
L=val]-[ト】
であり, L=1のとき, a=-【ナ】である。
このとき,点(6,0)を通り, 傾きm(m≠0)の直線lを考える。
円Cが直線lから切り取る線分の長さが1となるようなmの値は
【ニヌ】
m = 【ネ】
である。

ページ12:

▷ ① に x = 0, y=2を代入して
第3問 図形と方程式♡ 自学 ©akagi
C:x2 + y2 + ax + by + c = 0 ...... ①
y²+ax+by+c=0
02 + 2 2 + α ・0 + b 2+ c = 0
∴ 4 + 26 + c = 0 劄
① に x = 0, y=1を代入して
02 +12 + α.0 + b1+ c = 0
∴1+ b + c = 0
③
②と③を連立方程式として
解くと
よって,円Cの方程式は
平方完成して
(1)b=-3,c = 2, a <0 とする。
b=-3,c=2圈
x 2 + ax + y2-3y +2=0
(x + 2)² + (y-3)²
a 3
PC:(x+22 +0-123-0211 中心(-1/2) 半径o'+1
a²
=
4
2 2
a
3.
a² +1
2
=
4
答
√a²
a
円C:(x
+(y
2
2
3
円Cがx軸に接するとき, 円Cの半径は中心のy座標と等しいから一圈
2
2
Va² +1
よって
--
2
3-2
∴.a² +1=9
==
a=2√2 (∵a < 0)
(∵a<0)
このとき,接点のx座標は円の中心のx座標と等しいから
a
-2√2
2
2
=
√2D(√2,0)圄

ページ13:

(2)円の中心をM(-12 1/2
- )とする。
点 E(3, 0)が円の内部にあるためには, ME<半径となればよさげ。
3
Va² + 24a + 45
ここで ME
=
(3+
+ (0-
2
2
2
√a² +1
半径=
2
√a²+24a+45 √a² +1
だから
: a² + 24a + 45 <a² +1
2
2
11
:. a<

ページ14:

(3) 円C:x2 + y2+ax -3y + 2 = 0 とx軸との交点のx座標の値を求めます。
y=0を代入して x2 + ax + 2 = 0
よって
- a±√a² −8
2
:: x=
-a+√a² -8
-a-va²-8
L=
2
2
=√2-8圀
L=1のとき Va² -8 =1
2
-a-va-8
-a+√a² -8
∴a= -3圈(∵a < 0 )
2
2
このとき,点(6, 0)を通り傾きmの直線lの式は, 定点公式により
y-0=m(x-6)
∴.mx-y-6m=0
お絵かきしてみると, 条件を満たすには
図の三角形が直角三角形になればよさ
....④
P
2
。
√10
ここで,点M(
- )と直線①との
2 2
2
距離 dは,点と直線との距離の公式により
3
3
9
3
・m
6m|
2
2
2
·m+ |
2
=
d
よって、三平方の定理により
81
27
2
m+ ·m +
/10
d² + (1)² =
4
2
4
m
+1
2
|m² + (−1)²
+1
9-4
m≠0より
∴.4m² +3m= 0
.. m (4m + 3) = 0
3
m=--
4

ページ15:

数学Ⅱ, 数学B, 数学C
第4問(選択問題)(配点16)
(1) 等差数列{a}があり, a2=-3, =3である。
ag
{a}の初項を a,公差をdとすると, a,=【アイ】, d=【ウ】である。
このとき,自然数nについて, 座標平面上の点
(1, a,), (2, a2),(3, 4), ......, (n, a)は,図1のようにすべて一つの
直線上にある。
この直線とx軸との交点Pの座標は(【エ】, 0)であり,
n< 【エ】 のとき an <0
y
n> 【エ】のとき an
>0
である。
P
また, S, = a + α + α +…+ a, とおくと
X
=
n
【オ】
S, =(n² - [] n)
-【カ】
図 1
であり,S,はn=【キ】, 【キ】+1のとき,最小値をとる。
このとき, 自然数nについて, 座標平面上の点
(1, S,),(2, S2),(3, S3), ……,(n, S, )は,図2のようにすべて一つの
放物線上にある。
この放物線とx軸の正の部分との交点 Q の座標は (【ク】, 0) であり,
n< 【ク】 のとき S <0
である。
n
n> 【ク】のとき S >0
さらに, T, = S + S2 + S3 + ・・・ + S, とおくと,
X
Tはn=【ケ】,【ケ】 +1のとき最小値をとる。
図 2
(数学Ⅱ, 数学B, 数学C第4問は次ページに続くよ)

ページ16:

(2)等比数列{b,}があり,初項 1,公比 1/2である。
2
また,c, =b, + b + b +... + b とおくと
+b₂ +b¸ +bn
1
【サ】
Cn
=【コ】-
2
である。
【サ】の解答群
n- -2
① n-1
②n
③n+1
④ n+2
さらに, Um=c+ cz + C3 +... + c, とおくと
C n
Un=
U =【シ】
である。
【シ】の解答群
O
n
-
1
2
+
1
2
③
n- -1+
(
2
⑥ 2n-1+
n-1
n-1
1
2
n-1
1
(1
n
+
2
4 2n−2+
1
2
n+1
n-l
②
2
n+
2
⑤ -2
n
2-2 +(1/2n2+(1)
⑦ n+
2
n-1

ページ17:

第4問 ♡数列♡ 自学 ©Akagi
(1) 等差数列
n
n
等差数列{a}の一般項の公式 α = a +(n-1)d に a2=-3, ag=3を
代入すると
a2 = a + (2-1)d=-3
a,+d = -3
①
ag = a + (8-1)d =3
: a + 7d = 3
② ①より
d = 1 劄
これと① より
a₁
=
(1,-4), (2, -3) (3-2),..., (n,a)
→ 2点 (1, -4), ( 2, -3) を通る直線の式を求めると
y=x-5
y=0を代入して x=5
P(5, 0) E
kk
初項-4、公差1の
n
また, Sm = a + az + az +…+an
等差数列の和
4
=1/2n{2a,+(n-1)d}=1/2m{2x(4)+(n-1)x1}
57
=
1
2
1
2
-(n² -9n)
81
下に凸の放物線
8
nは自然数だから, 軸に最も近い整数
で最小値をとる。
よって, S, はn=4, 4+1のとき最小値をとる。 圏

ページ18:

初項 1, 公比−の等比数列の和の公式より
初項 1,公比/12
2
(2)等比数列
b₁ (r" -1)
cm=b,+b2+... +b =
n
2× (-)" = (³×}"
-1
r-1
さらに
Um=c, + c2 +…
||
1
1
|2
1
={1}=
21-1}-2-1
{
k=1
n
n
+ C n
k-1
-22-1比1/2、項敦nの等比数列の和
=
k=1
=2n
k=1
=
2n+2{{}{)* −1} = 2n − 2 + (²)>^~^ ¯)
n-1
}}
「2
-1

ページ19:

(1) つづき
S,=a=-4, S2 =a,+az=-4+(-3)=-7
図2の放物線は原点を通るので
y=ax2+bx
とおき, 2 点 (1, -4), (2, -7) を代入すると-4=a+b
-7=4a+2b
③
④
1
④ ③ ×2 より α= これを③に代入してb=
2
9
---
2
1
9
よって、 図2の放物線の式は
2
x
x
2
1
▷ 別解: さっき求めた式 S=1/2(m²
(n2-9n)より
-9m)より
y
y=1/2(x2
(x2-9x)
⑤
⑤にy=0を代入すると 0=
1=1/2(2
(x2 -9x)
∴x(x-9)=0
x>0より
Q(9,0)
さらに,T, = S, +S2 + S3 +
+ S + S, + S10
+
+ Sm
n
0
この間のSは全部負
T,はn=8,8+1のとき, 最小値をとる。
S=0で、0を足しても
かわらないから
1
この間のyは全部負

ページ20:

数学Ⅱ, 数学B, 数学C
第6問 (選択問題) (配点16)
OA = 4, OB = 3, cos ∠AOB
=
である△OAB があり, 辺 AB を
3
3:1 に内分する点をCとする。
【ア】 【ウ
OC=7OA+ 17 OB
【イ】 【エ
である。また,OAとOBの内積の値は
.
OA OB 【オ】
=
である。
直線 AB 上に点 P をとり, AP = tAB(tは実数)とすると
である。
OP= 【カ】OA+ 【キ】OB
【カ】, 【キ】の解答群 (同じものを繰り返し選んでもよい。)
Ⓒ t
① 2t
③ (1-t)
1
④ (1+1)
⑤ (1-2t) ⑥ (1 t)
⑦
(数学Ⅱ, 数学B, 数学C第2問は次ページに続くよ)

ページ21:

点 Q を OQ=2OP を満たすようにとる。
AQ⊥OAとなるとき,た
【ク】
であり, |OP|
【ケ】
【コ】【サシ】
である。
【ス】
また, AQ⊥OAとなるとき,点 D を OD=20C を満たすようにとると
【センタ】
|PD|2
=
【チッ】
であり, 点 D は△OAQ の外接円の【テ】。
【テ】の解答群
⑩ 内部にある
① 周上にある
②外部にある

ページ22:

第6問 ♡ベクトル♡ 自学©Akagi
▷ 点 CはAB を 3:1 に内分する点だから,
内分点の位置ベクトルの公式により
3
10A + 30B 1
3
OC=
=
OA+
OB 答
3+1
4
A
1
3
C
▷ |OA| =4,|OB| =3, cos ∠AOB=を内積の定義に代入すると
OA・OB = |OA|| OB|cos ∠AOB=4×3×
=
=4
3
▷ 直線 AB 上に点Pをとり, AP = tAB (共線条件) とすると, 始点の統一
3点が一直線上に
により
OP-OA=t(OB-OA) OP=(1-f)OA+fOB圄
後ろ前

ページ23:

点 QをOQ=2OPを満たすようにとる。
▷ 準備: OQ=2OP=(2-2t)OA + 2tOB より
AQ=0Q-OA=(1-2t)OA+2tOB
後ろー前
AQ⊥OAとなるとき, ベクトルの垂直条件により内積の値が0だから
AQ・OA ={(1-21)OA +210B }・OA
=(1-2t) | OA|2 +2/OA OB
=(1-2t)×42 + 2t × 4
OA=4
OA・OB=4
=16-24t
2
よって
16-24t = 0 ∴t
3
このとき
= (1-3)OA
OP=(1
3
①の両辺を2乗した値を求めると
4
3
|OP|2 |OA |² + ・OA · OB +
2
DOA+ - OB = 1½-OA+²² OB
2
OB=-OA+
・①
3
4
=-
|OB|2
9
9
3
1
4
4
=
+
-×4+
×32
9
9
|OP >0より |OP|
=
9
68
9
2√17
3

ページ24:

▷ AQ⊥OAとなるとき, 点 D を OD20C を満たすようにとる。
3
OC= OA+OB+)
-10A
4
4
OD = 1 OA+ OB
2
2
1
また,OP=OA +20Bより
3
3
よって
=
後ろー前
2
OB)
PD-OD-OP -OA +OB)-(OA+20
5
=
-OA+- OB
6
6
1
PD|² = − (OA|² +100A OB+25|OB|²)
36
4
4
3
1
131
=
(16+40 +75)
36
36