ページ3:

(2)加法定理 sin (a +β) = sinacos β + cosasin β により
π
π
sin a+
4
= sin a cos
-
=
3
5
1
+
4
+ cosa sin
π
4
1
5√√2
||
10
-
π
sin-
|4
π
|4|
|-
COS-
π
4
√2

ページ4:

B2 方程式 x2(x+1)=2
・① があり,太郎さんと花子さんはこの
方程式について話している。
太郎 : 方程式 ①を解いてみよう。でも, 3次方程式だから,解く
のが少し大変そうだね。
花子:方程式①を x2(x+1)=12.2と考えれば,実数解が1つ見つ
かるね。これを手がかりに, ①を変形した方程式
x2(x+1)-2=0の左辺を因数分解してみよう。
太郎 : なるほど, 因数分解できたら解けそうだね。
(1) 次の【(ア)】~【(ウ)】に当てはまる, 最も適当な数または式を答え
よ。
花子さんの発言から, 方程式 ①は実数解 x= 【(ア)】をもつ。 これ
により, 方程式①は【(ア)】(【(イ) 】)=0と変形できる。
したがって, 方程式 ① の解のうち, 【(ア)】以外のものはx=【(ゥ)】
である。
(2) xの方程式 x2(x+1)-2(k+1)= 0
....
･････② がある。 ただし, kは
実数の定数である。 方程式②の左辺を因数分解せよ。 また, 方程式
②が虚数解をもつとき,kのとり得る値の範囲を求めよ。
(配点 20 )

ページ5:

(1)x2(x+1)=12.2と考えると,①は実数解 x = 1 答を解にもつ。
よって, x2(x+1)-2=x'+x²-2はx-1を因数にもつので,組み立て除法
により①は(x-1)(x2 + 2x + 2) = 0 圏と因数分解できます。
この方程式を解くと, x=1
1 1
または
x=
- 2±√22-4×1×2
2
1 2
02
-2|1
2
1 2 2|| 0
=-1±i答
(2) 方程式②:x2(x+1)-k²(k+1)=0はx=kを解にもつので, 組み立て除法
により因数分解すると
x2(x+1)_k2(k+1)
=x3+x2-13-12
=(x-k){x2+(k+1)x+k2+k}
1 1
0 -k°-k' | k
k
k+1
k+k^
1 k+1
k2+k || 0
よって,②はx=k または x2 + (k+1)x+k2+k=0……③
kは実数だから, ③が虚数解をもてば②は虚数解をもつことになります。
③の判別式をDとすると, D<0となればよいので
D=(k+1)^-4×1 x (k2+k) < 0
. -3k2 - 2k+1 < 0
.
3k2+2k-1>0
∴ (3k-1)(k+1)> 0
1
k<-1, <k答
3

ページ6:

B 3 袋の中に黒玉2個と白玉1個が入っている。
また, 1辺の長さが1の正六角形ABCDEF が
あり,点Pは最初, 頂点Aにある。 点Pは,
以下の操作に従ってこの正六角形の辺上を頂点
から頂点に移動する。
F
B
E
【操作】
袋の中から玉を1個取り出した後にさいころ
を1回投げる。
D
取り出した玉が黒玉のとき,点Pを時計回り
(図の矢印
の方向)にさいころの目の数の長さだけ移動させる。
(図の矢印
の方向)にさいころの目の数の長さだけ移動させる。
取り出した玉が白玉のとき, 点P を反時計回り
ただし取り出した玉は元に戻す。
操作を1回行い,点PがAから移動した点を Q とする。 さらに続け
て操作を1回行い, 点 P が Q から移動した点をR とする。 たとえば,
操作を1回行い, 取り出した玉が黒玉で, さいころの出た目が4である
とき,点PはAからEに移動するので, E が点 Q となる。 さらに操作
を1回行い,取り出した玉が白玉で, さいころの出た目が1であるとき,
点PはEからDに移動するので, Dが点R となる。
(1) 操作を1回行ったとき,点PがCに移動する確率を求めよ。
(2)操作を2回続けて行ったとき, C が点 Q, Eが点R となる確率を
求めよ。
(3)操作を2回続けて行ったとき, 点 A, Q, Rを結んで正三角形
AQR ができる確率を求めよ。 また,このとき,取り出した玉がすべて
白玉であった条件付き確率を求めよ。
(配点 40 )

ページ7:

2
1
準備:黒玉が出る確率:
白玉が出る確率:
3
3
1
-
2の目が出る確率: 4の目が出る確率:
6
6
(1)A から C に移動するのは次の二通。
1-6
---
21
i)黒玉が出て2の目が出る:
36
1
ii) 白玉が出て4の目が出る:
-
×
1
==
36
これらは互いに排反だから, 求める確率は
18
2|11|1
||
+
1
18 18
2-18
2|11|18
(2)A から Cに移動する確率は(1)より
-
・①
6
CからEに移動する確率は
i) 黒玉が出て2の目が出る :
ii) 白玉が出て4の目が出る:
2 1
==
36
1
×
1
--
36
-
×
2
1 1
これらの和だから
+ ==
②
18
18 6
①と②が同時に起こるので、 求める確率は
111
- × =
66 36

ページ8:

(3)正三角形 AQR ができるのは次の二通。
i)
ii)
F
B
F
B
R
D
1
確率:
36
1
確率:
36
R
これらは互いに排反だから, 正三角形 AQR ができる確率は
1 1
1
+
36
36 18
また, 正三角形 AQR ができるすべての組み合わせをあらためて見て
みますと
i) 黒玉かつ2の目 / 黒玉かつ2の目
黒玉かつ2の目 / 白玉かつ4の目
白玉かつ4の目
黒玉かつ2の目
1 1
1
白玉かつ4の目 / 白玉かつ4の目 =>>
324
ii)
白玉かつ2の目
黒玉かつ4の目
1
白玉かつ2の目
白玉かつ2の目 =>
=
3
324
黒玉かつ4の目 / 黒玉かつ4の目
黒玉かつ4の目 / 白玉かつ2の目
1
1
1
よって、取り出した玉がすべて白玉であった確率は
+
324
324 162
1
また, 正三角形 AQR ができる確率はすでに求めた
したがって, 求める条件付き確率は
18
(すべて白玉の確率) (正三角形 AQR ができる確率)
で求められるので
1
1 1
÷
162
18
9

ページ9:

B 4
座標平面上に円 C : x2 + y2 = 25 と直線l: x+2y= 10 があり,
x2 +32 ≦ 25
連立不等式 { x+2y ≦10 の表す領域をDとする。
y≥0
(1)円Cと直線lの共有点の座標を求めよ。 また, 領域Dを図示せよ。
(2)点(6,0)を通る直線の中で,円Cとy>0の範囲で接するような
直線の方程式を求めよ。
(3)aは6≦a≦10を満たす実数とする。 点(x, y)が領域D内を動
くとき,
y
x-a
の最小値をmとする。 αの値で場合分けをして, mを
α を用いて表せ。
(配点 40 )

ページ10:

(1) 共有点の座標
C:x2 + y2 = 25 とl: x+2y=10⇒x=-2y+10を連立方程式と
して解くと
(-2y +10)2 + y' = 25
∴y? - 8y +15 = 0
これらをx=-2y+10に代入して
したがって,(4, 3)と(0, 5) 答
∴(y-3)(y-5)=0
:y=3,5
x=4, 0
x2 +1225円の周と内部
→領域D:x+2y ≦10
直線の下側
y≥0
x軸とその上側
y
15
3
O
4
x
境界線をふくむ

ページ11:

(2)直線の方程式
求める直線は (6, 0) を通るので、定点公式により
とおける。
y-0=m(x-6)⇒mx-y-6m = 0...... ア
円の中心(0, 0) と直線アとの距離が5(円の半径)となればよい
ので、点と直線の距離の公式により
|0-0-6m|
d=
=5
∴|-6m| =5√m² +1
両辺を2乗
√√m² +(-1)²
∴.36m² = 25(m² + 1)
25
:. m² =
11
y>0で接するとき、直線の傾きは負だからm=--
5
5
これを①に代入して
-
=x-y-6×(--
すなわち
√11
5x + √11y-30 = 0答
5√11 30√11
(y=
·x+
11
11
√11
= 0

ページ12:

(3) y=kとおくと、y=k(x-a)と表せ、この直線はkの値に関係
x-a
なく、必ず点(a, 0)を通る。
円上の点における
接線の公式
ここで、点(4,3)を通る接線の方程式は、4x+3y=25
25
であり、この接線とx軸との交点はx=
・(*)
4
25
よって、 を境目としてαを分ければよさげ。
4
25
4
i.6≦a≦. のとき、y=k(x-a) を x2 + y2 = 25 に代入すると
x2+k^(x-a)^ = 25
∴. (k2+1)x2 -2k2ax+k2a2-25 = 0
①の判別式が 0 となればよいので
D/4=(a2-25)k2=25
25
条件より、α-25≠0だから k2=
=
-25
5
k < 0より
k=m=
√a² -25
25
ii.
<a ≦10のとき、y=k(x-a)は点(4, 3)を通るときに
4
3
傾きkが最小となるから
k=m=
4-a
y
15
3
4
25
4
x

ページ13:

【選択問題】 数学 B 受験者は,次の B5
~
B8 のうちから2題を・・・
B 5 等差数列{a}があり,ag = 31, a2+α3 + α = 33 を満たしている。
また,数列 b„があり,b=2,b1+1=3b+2(n=1,2,3, ……)を満た
している。
(1)数列{a}の一般項a をnを用いて表せ。
(2) 数列{6}の一般項 b, を n を用いて表せ。
1
11
ak+bk)とする。
(3)S= =Σ(a,bk+ak+bk)とする。
Sm を n を用いて表せ。
k=1
(配点 40 )

ページ14:

(1) 等差数列の一般項の公式α = a + (n-1)d を利用すると
○ α = 31 より
a + (8-1)d =31
: a + 7d = 31
①
○ a2+a3+a = 33より
4
①×3-②より 15d = 60
(a + d) + (a + 2d) + (a,+3d)=33
∴ 3a + 6d = 33 ......
②
∴3a
①に代入してα + 7x4 = 31
したがって a =3+(n-1)×4
11
∴.d=4
.. a₁ = 3
∴ a = 4n-1 答

ページ15:

(2)61=2,b,+1=36 +2
11
(*): 特殊解型の漸化式
a = 3a +2
*の特殊解をαとし、特性方程式を解くと
よって、 *は
と変形できる。
∴α = -1
bm+1 +1 = 3(b, +1)
...(**)
b,+1=c, とおくと**は C,t1 = 3c,, C, = b, +1=2+1=3
Cn+1
等比数列型の漸化式
と表せる。 数列{c}は初項 3, 公比3の等比数列だから、その
一般項は
=3.3"-l=3"
Cn
元に戻すと
したがって
b, +1=3"
b =3" -1 答

ページ16:

(3) a = 4n-1 / b₁ = 3” −1
シグマの中を計算すると akbk+ak+bk
n
=Σ (a,b₁ + a
= (4k − 1)(3* − 1) + (4k − 1) + (3* − 1)
= 4k 3-4k-3k+1+4k−1+3* −1
= 4k.3k -1
n
S=(ab + a + b) = 4k.3k
k=1
k=1
-
n
k=1
( 等差数列) × (等比数列)の和
n
| IIT, U₁ = Σk · 3*
<L
k=1
U₁ = 1.3' +2.3² + 3 ·3³ + ··· +
n
3Un
=
n.3"
1.32 +233 ++ (n-1)·3" + n.3"+1
-②より -2U =1・3' +1・32 + … +1.3"-n.3"+1
n
初項3、公比3、 項数nの等比数列の和
=
3(3"-1)
2
3-1
• 3 "+1
3"+1
- n.3"+1
3
2
3
1
n.3"+1
- n.3"+1
+-+
4 2
よって
Un
=
1
4
1
⑩に代入して Sn = 4(-
すなわち
S=(2n-1) 3+1 -n+3
.
4
3 1
· 3" +1 + = + = n.3 "+1) -1
4 2
n

ページ17:

B 6
OA = 3, OB = 4の平行四辺形 OACB があり,辺 OA を2:1
に内分する点を D, 辺 AC の中点をEとする。
また, OA =a, OB = とする。
OA=a, OB=bとする。
(1) OD を aを用いて表せ。 また, OE を a, b を用いて表せ。
(2)線分 BD を (1-4) (0<<1) に内分する点をPとするとき, OP
を a,b,t を用いて表せ。また,点P が直線 OE 上にあるとき,tの値
を求めよ。
(3) f (2)で求めた値とする。 (2) の点P について, OP ⊥ DBが成り立つ
とき,内積a・bの値を求めよ。 さらにこのとき,点E から直線 OB に
引いた垂線と直線 OB の交点を Q とする。 △ODQの面積は平行四辺
形 OACB の面積の何倍か求めよ。
(配点 40 )

ページ18:

(1) OD=
3
=
1
2
a
3
OE = OA + OB = a + 16
2
(2) OP=OD + DP
=OD+ (1-1)DB
2-
=
3
2
2
b
a+(1-1)(a+b)
3
+ (1-1)…①圏
= ta+
OP SOE sa +
1
2
sb
B
t
C
P
E
1
1-t
DA
DB 始点の統一
= OB-OD
=b.
2-
3
aとは1次独立だから①と②の係数を比較して
12/21=8.1-1=128
3
t=s,
S =
1
2
3
4
答 (0<t<1を満たす)

ページ19:

(3)~前半~
(2)より OP
23-
-
a + (1
-
3
4
2
また DB
a+b
3
3
→
a+
1-4
-b
ベクトルの垂直条件
OP⊥ DB より OPDB = 0だから
-a +
3
10
2
+ —-—b) · ( − — —³ãà+b) =
4
1
2
1
=3,|6|=4を代入して
|a| =
1
→
-
--
→ →
a.b+
6
·b+.
1/13×32+ -a·b+-
3
= 0
= 0
4
a.b=-3

ページ20:

(3)~後半~
B
C
ODは OA の
の倍
倍。じゃあ, OQはOB の何倍??
OQ=kOB とおくと, OB⊥EQ より, 内積の値が0だから
OB(kOB-OE)=0
∴k|OB2-OBOE = 0
..
k|b|² -b (a+b) = 0
∴.k
.b
-
kx42-(-3)-1/21x 42 = 0
5
∴k
=
16
NE
D
A
5
=
16
24
5
よって, OD =.
OA, OQ=
3 16
-
25
AOAB = -x-S= -S
OB だから △ODQの面積をSとすると
⇒ 平行四辺形 OACB = △0AB×2
48
S
5
5
したがって, △ODQは平行四辺形 OACB の
倍劄
48

ページ21:

3
B 7 関数 f(x) = x3. -bx²-3ax+αがあり, f'(-1) =0を満たしてい
-
2
る。 ただし, a, b は定数で, a > -1とする。
(1) f'(x) を求めよ。 また, b を a を用いて表せ。
(2) f(x) の極大値, 極小値をそれぞれαを用いて表せ。
(3) x >-1の範囲において, f(x) = 0 となるような実数xが1個だけ存
在するとき, αのとり得る値の範囲を求めよ。
(配点 40 )

ページ22:

a²
(1) f(x) = x' -2bx²-3ax + α を xで微分すると
=
2
f'(x)=3x² -x2bx-3a= 3x² - 3bx-3a
3
2
豆
f'(-1) = 0 より
3×(-1)² - 36×(−1) − 3a = 0
.. b = a -1

ページ23:

(2)(1)より f(x)=x'-2(a-1
(a-1)x2-3ax+α
f'(x)=3x2-3(a-1)x-3a=
=3{x^2-(a-1)x-a}
=3(x-a)(x+1)
f'(x) = 0 より x = a, -1
+
+
-1
-
a > -1に注意してf(x) の増減表をお絵かきしてみると
a
...
X
-1
a
...
f'(x)
+
0
-
0
+
7
極小 7
f(x)
表より, f(x) は
極大
x = -1 で極大値 f(-1) = a² +2a+
=
3-2
1-2
圏
x = a
で極小値 f(a) =
3
=
a
--120-1202 園
をとる。

ページ24:

(3) 次の三通りに分けて考えればよさげ。
ア 極大値が負 イ 極大値が0 ウ 極小値が0
3
::-1<a<
⑦極大値が負のとき +24+1/2<0-1<<12
a+
3 1
1
イ 極大値が0のとき 2+
²++
a +
.. a
2
2
⑦ 極小値が0のとき120-1202
=0
(∵a > −1)
a = 0
(∵a > −1)
⑦,D,⑦より -1<a≦
a = 0
2
途中計算は
自分でしてみてね

ページ25:

B 8 関数 y = 32x+1 -5.3 +1 +18 があり, t=3" とおく。
(1) x = 0 のとき, yの値を求めよ。 また, 32x+1 を を用いて表せ。
(2)yをを用いて表せ。 また, y=0のとき,xの値を求めよ。
(3) yの最小値を求めよ。 また, yが最小となるときのxの値をpとし,
pの小数第1位の数字を求めよ。
ただし, logo 2 = 0.301, logo 3=0.477 とする。
(配点 40 )

ページ26:

(1) x = 0 のとき
y=32×0+1
- 5.3°+1 +18 =3-5・3+18= 6 答
また
32x+1=(3)2×3=312
(2) y=32x+1 -5.3+1 +18 = 3t2 -15t + 18 答
3x+1=3.3
y = 0より 3t-15t +18 = 0 ∴ (t-2)(t-3) = 0
∴t=2,3(t>0を満たす)
∴.3" = 2,3
両辺に底3の
log3 3 = log3 2, log3 3
∴.
対数をとる
∴x= log3 2,1圈

ページ27:

(3)
y =32x+1 -5.3+1 +18=3t2 -15t +18=3(t-
1>0より3(--) 0 だから y≧
2
3
よって最小値は
--
4
3
--
4
また、このときであり、元に戻すと
2
=
両辺に底3の対数をとると
3
--
5-2
4
5
10
log 10
10g10
5
2
4
10g 10 10-logo 22
x=log3
=
==
2 1010
3
10g10 3
log 10 3
1-2 × 0.301
x=pとすると p=
= 0.83...
0.477
よって, pの小数第1位は 8圏
1-2 log 10 2
log 10 3