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111 (1) 整数 x, yが25x-31y=1を満たすとき, x-5 は 31 の倍数
であることを示せ。
(2)1≦y ≦100とする。このとき, 不等式 0≦25x-31y ≦1を
満たす整数の組(x, y)をすべて求めよ。
[琉球大]

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解答例 計算ミスってたらごめんなさい(・ω・)
111 (1) 整数 x, yが25x-31y=1を満たすとき, x-5 は 31 の倍数
であることを示せ。
(2)1≦y ≦100とする。このとき, 不等式 0≦25x-31y ≦1を
満たす整数の組(x, y)をすべて求めよ。
(1) 25x-31y=1の整数解の1つは(5, 4)だから
25x-31y=1
25.5-31・4=1
②より
25(x-5)-31(y-4)=0
∴.25(x-5)=31(y-4)
25と31 は互いに素だから
x-5=31k(kは整数)
と表せるので, x-5は 31 の倍数である。
(2) 25x-31y は整数だから
25x-31y=0 または 25x-31y = 1
ア) 25x-31y=0のとき
x=31s, y=25s (s は整数)
と表せ, 1 ≦y ≦100(s = 1, 2, 3, 4)だから
(x, y) (31, 25), (62, 50),
=
(93,75), (124,100)
イ) 25x-31y=1のとき
x=31k+5, y = 25k + 4
と表せ, 1 ≦y ≦ 100 (k= 0, 1, 2, 3)だから
(x, y) = (5, 4), (36,29),
(67,54),(98, 79)
ア, イより(x, y)
=
(31,25) (62, 50) (93, 75),
(124, 100)(5,4)
(36, 29),
(67,54) (98,79)