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164 第5章 指数関数と対数関数
第1節 指数関数
1 指数の拡張
αの累乗 α については, 指数nが正の整数の
場合を学んでいる。
ここでは,指数の範囲を整数, 有理数, 実数と
順に拡張していこう。
A 0や負の整数の指数
指数
個
a=axax..
・Xa
mnを正の整数とするとき、次の指数法則が成り立つことは、既に
数学Ⅰで学んでいる。
1
=
a²
第1節 指数関数 165
0や負の整数を指数とする累乗を前ページのように定義すると, a≠0,
60 のとき, 指数法則1~3は,m, nが整数のときにも成り立つ。
例えばm=5,n=-2 の場合について, 指数法則1~3が成り立つ
ことが、次のように確かめられる。
1 a5a²=a³×
a²
=a³=a5+(-2)
2 (a)-2-
1
=
(a5)2
1
5x2
=α- (5×2).
=a5x(-2)
1
3 (ab)
1
1
(ab)2 a2b2
1
×
a²
62
=a-26-2
また、指数法則1を用いると
10
1 a"a"=a"+"
2 (a)" an
3(ab)"=a"b"
法則が成り立つように,αの累乗の意味を定めよう。
指数法則1が,整数の指数について成り立つとすると,例えば
a0 とする。このとき, 指数が0や負の整数の場合にも,上の指数
am
an
1
a"
=am x =a" Xa"=am-n
更に、指数法則3と2を用いると
10
m=3, n=0のとき
a³aº=a3+0=a³
ゆえに α=1
(c)"=(ab-'"=a"(b-'"="6"-a"
指数関数と対数関数
数
br
以上のことから, 次の指数法則が成り立つ。
15m=3, n=-3のとき 'a-3=3+(-3)=q=1
ゆえに α-31
3
そこで, 0 や負の整数を指数とする累乗について,次のように定める。
指数法則
06=0で,m, nが整数のとき
a≠0 で, n が正の整数のとき
α=1,
1
a"=
1 ama" =am+n
15
an
2 (am)=an
am1
3 (ab)"=a"b"
すなわち
α°=1, a1=
1
1
1
a'
a²,
a_n=
an
1'
Fam-n
an
a
a"
問1 次の式を計算せよ。
(1) a¯4a5 (2) (a2) (3) (ab)² (4) a²÷a³
次の式を計算せよ。
(2) 2-3=
1 1
23
8
このままで
↓
練習
2
(5) 0.2-2
20
(1) a³a
例
1
(1)5°=1
20 練習
次の値を求めよ。
1
(1) 4° (2) 3-2
(3)10-3
(4) (-5)-3
1000
125
10.04
(2) (α-3)-1
(3) (ab-1) aa

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■第5章 | 指数関数と対数関数
2
指数関数
一般に、指数関数y=αのグラフは,次のようになる。
第1節 指数関数 171
ここでは、指数関数の特徴を調べよう。
A 指数関数のグラフ
a>0, a≠1 とするとき, y=ax は xの関数である。 関数 y=α を、
5a を とするxの 指数関数という。
2 を底とする指数関数 y=2" のグラフについて考えてみよう。
例えば, x=0, -0.5 1.5 のときの2の値は,次のようになる。
1点 (0,1), (1, α) を通り, x軸を漸近線としてもつ曲線である。
2
>1のとき右上がりの曲線, <a<1のとき右下がりの曲線である。
a>1
y=ax
y=a
YA
0<a<1
L
1
act =②
1
1
1
a
a
-10
1
x
-1 0
1
x
第5章
指数関数と対数関数
20-1, 2-0.5=2-=-
1
√2
2
2
≒0.71,
21.5=22=2√2=2.83
同様にして, xのいろいろな値に対する 2* の値を求めると,次の表
10
のようになる。
7
X -2
-0.5
-1
-1.5
0
0.5
1
1.5
2
0.25
2x
0.35
0.5
0.71
1
1.41
2
2.83
4
このようにして, y=2* において
次の関数のグラフをかけ。
(1)y=3x
から
(2)y=(1/2)m
y
y = 2
9
xのいろいろな値に対応するyの値
8
15 を求め,それらの値の組 (x, y) を
座標にもつ点を座標平面上にとって
17
B 指数関数の性質
グラフからわかるように、指数関数y=a* には,次の性質がある。
指数関数y=αの性質
1 定義域は実数全体, 値域は正の数全体である。
6
いくと,それらの点は右の図のよう
10
2a>1のとき
xの値が増加するとyの値も増加する。
5
な曲線上にある。
4
この曲線が 指数関数
3
20
y=2x
2
1
のグラフである。
p<a a" <a
0<a<1のときxの値が増加するとyの値は減少する。
p<g⇔a>
【注意】 a>0, a≠1 のとき 「b=g⇔ a=α」 が成り立つ。
問3
指数関数 y=(
=(1/2)のグラフ
3-2-10 1 2 3
は,y=2x のグラフとy軸に関して対称であることを示し,そ
のグラフをかけ
15
練習 7 (1) の y=3* のグラフと前ページのy=2"のグラフは,x < 0,x>0の範
深める
囲においてそれぞれどのような位置関係にあるかを説明しよう。

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20
5
3 第5章 指数関数と対数関数
例
4
(1) 273-3/272=(27)²=32=9
(2) 8-1-1-1/8/2
次の式を計算せよ。
位
(1)
節 指数関数 169
=
(4) √a³×√a
練習
5
次の値を求めよ。
(1) 42
(2)
(3)19x927
(5) √a÷√axa
(2)125
5 (3) 25-
-25
D 無理数の指数
前ページのように指数が有理数である累乗を定めると指数法則
1~3は,指数が有理数のときにもそのまま成り立つ。
例えば,2=1,4142 に対して
指数が無理数のときにも、累乗の意味を定めることができる。
指数法則
の列 31 31.4, 31-41, 31-414, 31-4142 ...... は,
a0b>0で,r, s が有理数のとき
1 a'a"=a***
1'
a'
-=a~*
a"
2 (a)=a"
3 (ab)'=ab
a
3'
10
[br]
対しての値が定められる。
2
a>0,b>0のとき,例えばr=-
S=
3.S
2
1 の場合について, 指数法則
前ページの指数法則は, 指数が実数のとき
右のようになり、次第に一定の値に近づいて
3¹ =3
314 4.655536...
31.41=4.706965･･･
いく。 その一定の値を 32 と定める。 3-41=4.727695・・・
このようにして,a0 のとき,実数xに
31.4142-4.728733..
にもそのまま成り立つ。
指数関数と対数関数
5
1,2,3が成り立つことが,次のようにして確かめられる。
1 a'a'=aša²=√a² √a=√√√a³=√a
(a)=(a)==(Va)=ya
a=a*=a³=√a
3 (ab)=(ab)=√(ab)² = 3√ a²b² = 3√ a² ³√ b²
a'b'=a³b¹³=√a²√b²
1
(1) (az)³×a±a=a²×a×=a²×a×a¯¹=a²¼¯¹=a³
a
(2)x625=5kx(5)1d=53x53=53+3=5'=5
終
研究 負の数の乗根
15
nが正の奇数のとき 右の図からわかる
ように 負の数 α に対して,x" =αを満た
す負の数xがただ1つある。 これも
|は正の奇数
で表す。 例えば
Na
10
x
-27=(-3)=-3
20
g-32=(-2)= =-2
a
y=a
nが正の偶数のとき 常にx"≧0である
から 実数の範囲では、負の数αのn乗根は存在しない。