ページ3:

1
(3) cos /BAC=cos60°=
答
2
△ABC で余弦定理により
BC2 =32 +82-2×3×8×cos60°
=9+64-48x-
54-48×12
=49
BC>0 より BC =7圈
C
3
60°
A
-B
8
(4)|x-5|=√3 ⇔ x-5=±√3
a <β より α=5-√3圏
x=5±√3
1 < √3 <2 辺々に-1をかけて
辺々に5をくわえて
-1> -√3 > -2
4>5-√3>3
すなわち
3 <α < 4
よって, αの整数部分は3だから
n=3劄

ページ4:

(5) 修正前も修正後も平均点は同じ60点。
よって、2人の("データ"ー" 平均値”)2の和がどうなるか確認します。
【修正前】 花子: (89-60)=841 太郎: (70-60)2-
和 = 841+100=941
=100
〖修正後〗 花子: (90-60)=900 太郎: (69−60)²=81
和 = 900 +81= 981
したがって,得点修正により分散は大きくなる (1)。 圏
n
※分散の定義 2 = -(
-
ni=1
これが大きくな
るほど分散も大
またねノシ
きくなる

ページ5:

B1
【2023年度11月進研高2模試】 小間集合B
(ア)
である。
(1)(a' + a + 2)(a^ -a + 2)を展開して整理すると,
(2)2次関数y=-x2+6x+a ････① のグラフが点 (1, 4)を通っている。
定数 αの値は (イ) であり, 2次関数 ① の最大値は
(ウ) である。
(3)△ABCがあり, AB = 8, AC=3, <BAC=60°である。このとき,
BC= (オ) である。
cos <BAC= (エ)
(4)袋の中に1,2 3
4
,
5 6, 7 のカードが1枚ずつ
合計7枚入っている。この袋の中から同時に3枚のカードを取り出す。
取り出し方は全部で
(カ) 通りあり、取り出したカードに書かれた数の
積が偶数となる確率は (キ) である。
(5) ある高校の 40人のクラスで数学のテストを実施したところ,平均点は
ちょうど 60 点であった。 ところが, 花子さんと太郎さんの得点に入力ミ
スがあることがわかり, 花子さんの得点は 89点から90点に,太郎さん
の得点は70点から 69 点に修正された。
このとき,このクラスの数学のテスト結果の分散についての記述として
正しいものは「 (ク)」である。 (ク) に当てはまるものを,次の1~
4 のうちから一つ選び, 番号で答えよ。
1 得点修正により分散は大きくなる。
2 得点修正により分散は小さくなる。
3 得点修正により分散は変わらない。
4 これだけでは分散の変化を判断することはできない。
(配点 20 )

ページ6:

B1 自学
(1)(a^+a+ 2)(a^−a+2)={(a²+2)+a}{(a2+2)-a}
= (a² + 2)² - a²
= a + 4a² +4-a²
答
= a4 +3a² +4
(2) y = -x^ + 6x+αに x = 1, y=4を代入して計算すると
4=-12 +6×1+a
∴a=-1劄
y=-x2+6x-1を平方完成すると
=-(x²-6x)-1
=-(x-3)^+9-1
=-(x-3)2 +8
①は頂点が(3, 8) で上に凸の放物線。
よって、頂点のy座標の値が最大値と
なるので, 最大値は8圏
8
3
x

ページ7:

(3) cos/BAC = cos60° =
△ABC で余弦定理により
答
BC2 = 32 +82-2×3×8×cos 60°
=9+64-48×
=49
BC>0 より BC=7劄
3
60°
8
2
・B
(4)7枚から3枚を同時に取り出す方法は C3
7
=
7×6×5
3×2×1
=35圈 通り
=
3つの数をかけて偶数となる確率は, 3つの数をかけて奇数となる
確率の余事象を考えるといいかも。
3つの数をかけて奇数となるのは3つとも奇数の場合であり,その取り
出し方は4C3=4C,=4通り。
よって, 3枚とも奇数である確率は二だから, 3枚のカードの数の積が
35
4 31
偶数となる確率は 1
35
35

ページ8:

(5)修正前も修正後も平均点は同じ 60 点。
よって、2人の ("データ" - " 平均値”)2の和 がどうなるか確認します。
〖修正前】 花子: (89-60)²=841 太郎: (70-60)=100
和 = 841+100= 941
〖修正後】 花子:(90-60)=900 太郎:(69-60) = 81
和 = 900+81=981
したがって,得点修正により分散は大きくなる (1)。
n
※ 分散の定義(一
n
i=l
またねノシ
これが大きくな
るほど分散も大
きくなる

ページ9:

B2 【2023年度11月進研高2模試】 不等式
〔1〕 実数xに関する条件 p, qを次のように定める。 ただし, aは正の
定数とする。
p:|x-2| <3
9:x2-ax-2a²<0
(1)不等式①を解け。
(2)pがqであるための必要条件であるようなαのとり得る値の範囲を求
めよ。
(配点 10 )

ページ10:

B2 自学
〔1〕
(1) 不等式①を解くと x-2 <3
←>
-3<x-2<3
⇔
-3+2<x<3 + 2
←>>
-1<x<5圏
(x+a)(x-2a) < 0
(2)不等式 x-ax-2a² <0を解くと
⇔ -a<x<2a
条件p, q が表す範囲を数直線上にお絵かきすると
-1 - a
P
Q
pがqであるための必要条件となるには p
2a
5
q が偽
p
gが真
つまり, PQとなればよさげ。(上の図)
よって
-1≦-a かつ2a≦5
5
つまり
1≧a かつ a≦-
すなわち
a≦1
これとα>0より
0<a≦1圈

ページ11:

B2
【2023年度11月進研高2模試】 三角比
〔2〕 鋭角三角形ABC の辺 BC 上 (両端を除く)に点Pがある。 △ABP
の外接円の半径と△ACP の外接円の半径の和が最小となるような点
Pはどの位置にあるかを考察する。
考察
BC=a,CA=b, AB=cとし, △ABP の外接円の半径を R, ACP
の外接円の半径を R とする。 ∠BPA=0とし, 正弦定理によりR, を
= (ア) |である。また, 同様に R, を b,
c, sin0を用いて表すと, R,
sin0を用いて表すと, R2
= (イ) |である。
(1)
(ア)
(イ) を正しくうめよ。
(2)点Pの位置は, 考察で用いた0の値によって定まる。 △ABP の外
接円の半径と△ACP の外接円の半径の和 R, + R2 が最小となるような
0の値, および R, + R2 の最小値を, 求める過程とともに解答欄に記述
せよ。 ただし,R, + R, の最小値は考察で用いた b, c を用いて表せ。
(配点 10 )

ページ12:

B2 自学
(1) △ABP で正弦定理により
C
2R₁ =
=
sin
C
よって
R₁ =
"
A
b
2R2=
2 sin e
△ACP で正弦定理により
b
sin(180°-日) sin 日
B
e180°-6
P
C
a
b
(補角の公式)
b
よって
R2=
2 sine
C
b
b+c
(2)
R+R2
+
※分母が大きいほど小さくなる
2sin02sin O
2sin0 2sin O
0°<0 <180°より0<sin0≦1だから,R, +R2はsin0=1のとき,
つまり0=90°のとき最小となり,最小値は
b+c_b
b+c b+c
である。 圏
2×1
2

ページ13:

B3
【2023年度11月進研高2模試】 高次方程式
多項式 P(x) = x3 - (k-1)x2+(3k-6)x+4k-6がある。 ただし,aは
実数の定数とする。
(1) P(x)を x+1で割った商を求めよ。
(2)方程式 P(x) =0が異なる3つの実数解をもつようなkの値の範囲を
求めよ。 また,この3つの実数解の積が1となるようなkの値を求めよ。
(3)方程式 P(x) =0が異なる3つの実数解をもち, すべての解が
-2<x<1を満たすとき,kのとり得る値の範囲を求めよ。
(配点 20 )

ページ14:

B3 自学
(1) P(x)=x^-(k-1)x2+(3k-6)x+4k-6をx+1で割った商
▷ 組立除法により
-(k-1)+(3k-6)
1
4k-6|-1
-1
k
-4k+6
1
-k
4k-6
0
したがって, 求める商は x2 -kx + 4k -6 圏

ページ15:

(2)前半
(1)より
ここで
P(x)=(x+1)(x2-kx + 4k - 6)
-
Q(x) = x2 - kx + 4k - 6
とおくと, P(x) =0はx=-1を解にもつので
Q(x) =0が異なる2つの実数解をもち, それらがx≠-1であればよさげ。
・Q(x) =0の判別式をDとすると, D>0 となればよいので
D=(-k)2-4×1×(4k-6) > 0
..k2-16k + 24 > 0
....
①
16±√(-16)2-4×1×24
k2 -16k + 24 = 0を解くとk=
2
=8±2√10
よって、①の不等式の解は k <8-2√10, 8+2√10 <k ･････ ②
<k..
.
Q(-1) ≠0より (−1)^-kx(-1)+4k-6≠0 ∴k≠1
②かつ ③より k<1,1<k < 8-2√10, 8 + 2√10 <k圏
③

ページ16:

(2) 後半
Q(x) = x2 - kx +4k - 6
Q(x) =0の2つの解をα, β とすると, 解と係数の関係により
Sa+β=k
(4)
aβ =4k-6
⑤
3つの実数解の積が1より -1xaxβ=1
⑤を代入して
-1×(4k-6)=1
5
k=-圈
4
一応確認すると (8-2√10)
5_27-8√√10
/729 - √640
>0
4
4
4
5
よって,1<k=<8-2√10であるので条件を満たす。
4

ページ17:

(3)方程式 P(x)=0が異なる3つの実数解をもち
→ (2)より
k<1,1<k<8-2√10, 8+2√10 <
<k
⑥
すべての解が-2<x<1を満たす
→ -2<x<1 かつ -2 <β<1
←
-2 <αとα<1, -2 <βとβ<1 に分けてみます
a+β=k
aβ = 4k-6
i.-2<αかつ-2<β,すなわちα+2 > 0 かつβ +2 >0のとき
(a + 2) + (β + 2) > 0
∴a + β> -4
④より
k > -4
(a + 2)(β + 2) > 0
∴ aβ + 2 (a + β) +4 > 0
④・⑤より
4k - 6 + 2k + 4 > 0
k
1
これらをともに満たす値の範囲は
k>
3
ii.α <1かつβ<1, すなわち α-1 < 0 かつ β-1 < 0 のとき
(a-1)+(β-1) < 0
∴a+β <2
④より
k <2
(x-1)(β-1) > 0
∴ aβ- (a + β) +1 > 0
④ ⑤より
4k-6-k+1 > 0
5
k>
3
5
これらをともに満たす値の範囲は
<k<2

ページ18:

以上より, 求めるkの値の範囲は
k <1,1 <k < 8-2√10, 8+2√10k かつ ⑥ かつ
これらを数直線にお絵かきしてみると
|1-3
1
5-3
8-2√√10
2
8+2√10
5
=k<8-2/10
3
またねノシ

ページ19:

B4
【2023年度11月進研高2模試】 図形と方程式
0 を原点とする座標平面上に2点A(-1, 2), B (5, 5) があり,原点
0を中心とし直線ABに接する円をCとする。 また, 点 B から円Cに引い
た2本の接線のうち直線AB でない方をℓとする。
(1) 直線 AB の方程式を求めよ。
(2)円Cの方程式を求めよ。 また, 接線lの方程式を求めよ。
(3)線分 OB 上に中心があり, 直線 OA, AB の両方に接する円 K の方
程式を求めよ。
(配点 20 )

ページ20:

B4 図形と方程式 自学
(1)2点A(-1, 2),B(5, 5)を通る方程式は
5-2
y-5=
(x-5)
5-(-1)
y=1/2x+2/(x-2y+5=0)
(2)円Cの方程式を x2+y^=^ とする。
r =
円Cの中心(0, 0)から接線x-2y+5=0までの距離が半径rだから
.|0-2×0+51=√5
V12 + (-2)^
したがって,円Cの方程式は x2 + y2 = 5 圏
② 公式
また,円Cと接線lの接点をF (a, b)とする。
Fは円C上の点だから
a² +b² = 5
①
Fを通る円Cの接線は
これが点 B を通るから
ax + by = 5
5a + 5b = 5
①と③を連立方程式として解くと
b≠2より
②に代入して
....
(1-6)2 +62=5
b2-6-2=0
....③
(b + 1)(b - 2) = 0
b=-1
a = 2
したがって, 接線lの方程式は②より 2x-y=5圈

ページ21:

(3) 直線 OB の方程式は y=x
よって,円 K の中心をM (m, m) とおく。 (ただし0≦m≦5)
直線 OA の方程式は
2x+y=0
直線AB の方程式は x-2y+5=0
M から直線 OA,AB への距離は等しいから
|2m+m m-2m+5|
=
√22 +12
√12 + (-2)^
∴|3m| = |-m+5|
∴3m=±(-m+5)
.m
0≧m≦5より
m
5
4
5-4
||
5
--
2
→ M(
514
514
また,円 K の半径は
13×21
4
=
3
/22 +12 4
√5
したがって,円Kの方程式は(x-2 +(x-23 - 14/06
45
图
=
またねノシ

ページ22:

B5 【2023年度11月進研高2模試】 三角関数
π
関数 y=3sin0+acose があり, 0=一のときy=3である。
ただし, aは定数とする。
(1) αの値を求めよ。
(2)yをrsin(0+α) (r>0, -π≦a<π)の形で表せ。 また,
00 のとき, yの最小値とそのときの日の値を求めよ。
(3)0≦β(Bは正の定数)のとき,y=√6を満たす0の値が
ちょうど3個であるようなβの最小値を求めよ。 また, そのときの tan β
の値を求めよ。
(配点 20 )

ページ23:

B5 自学
(1) 0:
=
π
6
-のときy=3だから
3=3sin
π
-
6
+ a cos
∴.3=3x- +ax
2
3 2
a=-x
2√√3
π
6
√√
2
= 13

ページ24:

(2)(1)より
y =3sin0+√3coso
合成して
=
= V32 + (√3) sin(0+
π
=2√3sin(+-)
0≦0πのとき
π
t=0+とおくと
6
6
VII
-6-6
≤0+
π
6
π
1
7-6
13
30°
このとき
1
-
2
y=2√3 sint
sint≦1
-√3≤2√3 sint ≤2√3
-√3≤ y ≤2√3
よって, yの最小値は√3
7
- ーπ
6
3
・π
7
π
このとき,t=-πであり、元に戻すと 0+
6
-
=
66
7-6
すなわち
0 = л
TC
16
1-2

ページ25:

(3)y=2√3sin(9+/-)=√6 より sin(9+
π
1
-)=
・(*)
2
π
0≧0 のとき 0+-≧
6 6
この範囲で(*)を満たす0+ ・の値を順に書き出してみると
6
π 兀
3
9
11
17
0 +
=
一π、
-π,
―π、
...
6
4
4
4
4
4
3個
この間にこれがあればよさげ
π
π
π
0≧≦の辺々にーを加えて
6
6
9
π
11
よって
B+
π
4
4
辺々に
匹を加えて
25
31
B≦ π
6
12
12
25
したがって、条件を満たすβの最小値は
-π
12
25
また,このとき, tan
12
9
16
-π=tan-π+ -π) 加法定理
12
12
3
4
tan-π+ tan-π
3
4
4
3
= tan(-π+
π)
4
3
3
4
1-tan-π × tan
π
4
3
=
(-1)+√3
=
√3-1 4-2√3
1-(-1)×√√3+1
=
3-1
=2√3

ページ26:

B6
【2023年度11月進研高2模試】 数Ⅱ:微積
関数 f(x) = x' + ax2+bx+c があり, f'(-1) = a² +3 を満たしている。
ただし, a, b, cは定数とする。
(1) bをaを用いて表せ。
(2) f(x) が極値をもつようなaの値の範囲を求めよ。
(3) aは整数でb<0とする。 方程式 f(x) =0が異なる3つの実数解を
もつようなcの値の範囲を求めよ。
(配点 20 )

ページ27:

B6 自学
(1) f'(x)=3x²+2ax+b f'(-1) = a² +3¹)
3·(−1)² + 2a · (−1) + b = a² +3
b=a²+2a
(2) (1)¹) f'(x) = 3x²+2ax+ a² +2a
f(x)が極値をもつ f'(x) =0が異なる2つの実数解をもつ
3x2 + 2ax + a² + 2a=0の判別式をDとするとD>0となればよい。
D = (2a)² ² −4·3·(a² + 2a) = −8a² - 24a= −8a(a+3)>0
したがって -3<a<0圄

ページ28:

(3)b <0より
a は整数だから
よって
これらより
xで微分すると
a2+2a < 0
a(a+2)<0
a=-1
b=-1
f(x)=x3-x2.
f'(x)=3x²-2x-1=(3x+1)(x-1)
∴-2<a<0
-x+c
1
f'(x)=0より
x=-- 1
f(x) の増減表をお絵かきすると
x
...
1
3
1
...
(+)
1
3
1
f'(x) +
0
0
+
f(x) 7
|極大
|極小
7
正
|c+
52
27
1 1 1
5
==
+-+c=c+
27 9 3
27
f(1)=1-1-1+c=c-1
y=f(x)のグラフの概形をお絵かきすると
I will
方程式 f(x) =0が異なる3つの実数解をもつためには
5
c+=> 0 かつ c-1 < 0
27
となればよさげ。これらを連立不等式として解くと
5
<c<1
27
負

ページ29:

B7
【2023年度11月進研高2模試】 数列
等差数列{a}があり,a,+α3=-98, as =-34を満たしている。
また,数列{a}の初項から第n項までの和を S, とする。
(1) 数列{a}の一般項 am をn を用いて表せ。
n
(2)S, が最小となるnの値とそのときのS, の値を求めよ。
(3) S, の絶対値| S |が最小となるnの値をNとするとき, N の値を求め
n
よ。また, Σlakの値を求めよ。
k=1
(配点 20 )

ページ30:

B7 自学
=
(1) az a₁ +(3-1)d = a₁ +2d a₁ + (a₁ +2d) = -98
a₁d=49 .....①1
asa, +(5-1)d
a₁ +4d-34 ·②
2- 3d = 15
d=5
等差数列の一般項の公式
(2) an
-> a₁ +5=-49
.. a₁ = -54
a =-54+ (n-1)x5 = 5n-59
"
a = a + (n-1)d
≦05n-59≦0 n≦11.8 第11項までは負
S₁₁ ==×11{2×(-54)+(11-1)x5}=-319
n = 11
等差数列の和の公式
S.
S₁ ==—-—n{2a, +(n−1)d}
2

ページ31:

1
(3) S₁ == n{2×(-54)+(n−1)×5}
1
===n(5n-
(5n-113)
5
|S, |= f(n) =|=n(5n −113) |➡
N
。 S₁ = 54
°S 22 = 33
0
2
$23 =23 これN = 23
23
a=5k 59|
k=1
k=1
CAkagi
113
= 22.6
5
S₁
SS23
11
23
=5k 59|+|5k -59 |
=
k=1
11
k=12
23
11
- (Sk
= Σ (-5k +59) + { Σ (5k -59) - Σ (5k -59) }
k=1
1
k=1
(2)
k=1
(3)
): -5.11.12+59.11=-330 +649 = 319
2
): 5.1.23·24-59.23 = 1380–1357 = 23
2
1
③:5
11.12-59 11 = 330-649 = -319
2
= 319 +23- (-319)
= 661
シグマ公式(自然数の和)
1
Σk == n(n+1)
k=1
2