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2024年度 10月第2回ベネッセ・駿台記述模試 自学@Akagi
Z問題
1
Z3 =
an+1 =-a +
n
1
2"+1
(n=1,2,3, ...) によって定めら
n
れる数列{a,}がある。また, b, = 2"am (n=1,2,3, …)によっ
て定められる数列{b,}がある。
(1) b, の値を求めよ。 また, b,+1 をb, を用いて表せ。
n
(2) b, を n を用いて表せ。 また, limbを求めよ。
n→∞
(3)座標平面上に次のように点をとる。
A(by, a), A2(b2, a2),…, An(bn, an), Anti(bn+1, an+1)
B(6,0),B(b2,0),
n
..., Bm(bm, 0),
......
△A, B, Am+1の面積をS, (n=1, 2, 3, ...) とするとき,
8
無限級数 ΣSn
の和を求めよ。
n=1
(配点 40)
ページ2:
(1) b₁ = 2¹a₁ = 2× C É#@Akagi c ~数列の極限 (数Ⅲ)~ An+1 2 2 n+1 a + n 1 2"+1 / b₁ =2" a 2n+1 n = b 572 b-2-2-241-241 = n+1 a = n+1 + n 2"+1 = n a +1=2"-1 +1 'n 2" -++,+1 = n 2 +1劄
ページ3:
(3)(2)より 6.
-b
n+1
"{(金)+2}-{(+2}-(金) 20
また
b₁ = 1
よってb,(=1)< b2 <bs < ... <b, <butt < ...
n+1
さらに an
>0
n
これらから△ A,B,Am をお絵かきしてみると(こんなかんじ??)
An
an
An+1
n-1
Bn
bn
bn+1
S=(641-6m)xa÷2
=
(bm+1-6m)x.
=
b
2"
12/1/{(+2}
2n+1
2"
n-1
-{() +2}
=
3n
+
2n
12
--+(4)
n
次ページへつづく自
ページ4:
(2) 6.
.b. +1.
①特殊解型の漸化式
n+1
n
1
特性方程式 α =-α+1を解くと α = 2
2
よって、①を変形すると
b.
=
n+1
boul-2-12 (1-2)
(b
n
bm-2 = c, とおくと
C n+1
2cm,G,=b,-2=-1
数列{c}は初項-1、公比の等比数列だから、一般項は
元に戻すと
したがって
また、このとき、
n-1
---0--0
Cn
=-1x
0-2 = {1
b-2=
2
n-1
b = { "+2
b₁
n
limbn
n→8
=
lim/
n→8
=
n-1
+
= −0+2
=2圈
n-1
ページ5:
つづき
00
よって
=
8
* Σ -Σ{-A)²+(A)"}
n=1
n=1
8
n
00
=
n=1
(ア
+
n=1
無限級数アの初項は、公比はーで|-|1だから収束するので、和は
a₁
1-r
8
=
7
n=l
8
1
無限級数④の初項は一公比は一で
4
-1だから収束するので、和は
4
n=1
これらより Sm
=-
n=1
n
=
1
4
1-3
n
8
n=1
+
8
n=1
n
1-3
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21
42
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