データの分析〜∑を使ってもう一度！〜(※箱ひげ図は除く)
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高校全学年
数ⅠAの頃に習ったデータの分析を数Bで習った∑を使って改めて学び直してみると色々といい事があります。共通テストで使えるかどうかは分かりませんがこれを理解していれば怖いものは無いでしょう。また、誤植や計算ミスがあれば教えて下さい。
ノートテキスト
ページ1:
〈分散> (データ×に関する分散をS 4. 偏差(メーヌ)の2乗の平均値 で表す) 2 Sx=11711(x ... +(フューズプリ :S, n (x₂-x) S2^3=2(スムース) と表される。 x n ◎分散の別公式 ... √2² = (>3) - (x)² [証明](左辺)=(x-2)+() xの平均 -2+( +( X-2 = (x²) - 2π · x + (x)² |= (x3) - (5)² <標準偏差>し →分散に5をつけた値 5x=JSx² = (4) =(右辺) 0 " Sxで表す)
ページ2:
〈共分散>(xyの共分散をSxyで表す) boxとyの偏差の積の平均値 ... + (xn-x)(yn-π) Sxy = (x-x) (y-5)+ n .. Sxy = I n ✓ (xx-x) (y-5) 共分散の別公式... Sxg=Qxy)-x.y [証明] (Fil) = ± 17 (Xye - x Y x - x x Y + X.J) xaya ye + =(x-y)-x.g-+=(x-y)一文可=(右) <相関係数>(xとyの相関係数をrxyと表す) D Sxy Xxy = 5 x Sy (XA-X) (Ye-) n (2-5)² @ここまでやってきた公式の形を想像できるようにし 次に行きましょう。
ページ3:
<データの変換①>
y=ax+bでxyに変換するとき、
2
(1)y=ax+b (2) Sn=asy (3) Sy=lalse
が成り立つ
axath
[証明](1)(左辺)=g
=
=
=a+ax+bに(右辺)
(2)==
(2) S₁₂² = ^^ (1-5)² = " \(ax+b)-(ax+b)}²
n
= {a (xx-x)}²
2
=
=
n
R=1
(3) Sy = √ √5m² = √ a². Sx² = | a | √ Sx = | a | Sx
=lal
ページ4:
<練習問題> ある5人の数学と英語の点数は以下の通り (たて列は同じ人) 数学は50点満点 数学 40 32384535 英語は100点満点 英語 75 70608481 [1]数学と英語のテストの点数の分散をそれぞれ求めよ [2] 数学の点数をx(点)、英語の点数をy(点)とする。 そして、変量Zを以下のように定める。 Z=2x+y(x.yは同じ人の点数) このとき、以下の問いに答えよ。 (1)Zの平均値を求めよ. 但し、Sxy=15であることを (2)yとその共分散Sgzを求めよ、用いて良い ここで変量を以下のように定める w=1/2z (3)yときの相関係数をryz.yとwの相関係数をkymと する.kyzを求めよ. Tym (解説は次ページ)
ページ5:
(3)
(解説続き)
Vyz
łym
ここで
Sm
=
Syz
Sysz
Sym
Sy Sm
Su 1415 -1/
Sz
=
=
=
Sm Sye
Sz Sym
#1 Sym = (y.m) -y.w
=
=
Yr. Zk - 1 y. Z
Zk
./..
Ye Wa
(27). h
gz
2857 nhs 25 — = {2-1-12 -1}=-=
Sye=
Sym1/fge
Syz=
ryz
1/2=
以上より、無・・・」
2
ページ6:
この練習問題のようにいつもの公式の形から 外れていても』を使えばその場でカンタンに 成り立つかが分かります(例えば2付) また今回紹介した別公式を 知らなかった人は是非使えるように しておきましょう 汚い字でしたが最後まで見て頂き ありがとうございました。
ページ7:
<平均値>(文で表す) しゅnコのデータx1,xz...xm の和をnでわった値 + x = x+x2+…+xch n k=1 コンパクト! にの形を覚えていて 下さい) ⑩仮平均火の利用 ★平均値の予想を作り、平均値の計算 を少しラクに行う手法 ◎X=x'+ ~(x-x) [証明](右辺)=x'+ 証明も n - 水 文=(左辺) = x² + x = x n = x = (D) カンタンにできる! - ☐
ページ8:
<データの変換②>
y=ax+b.wicz+dとしてそこに変換
前回の(1)~(3)より、=(z+d
このとき、
53=252 が成り立つ
Sm²=252
Sm=1c|SE
Sz
|(4) Syw = aC Sxz (5) Fyw = {-taz (ac<0)
[証明]
(4) Syw = Σ (YR -5) (W₁- π)
(5)
—
し
= (a (xx-x) (((2-7))
n
(rxz (aczo)
-rxz
が成り立つ
=ac (x-5) (2x-2) = acSxz
{(フューズ)(マューズ)
n
acsxz
(2754 ((3)(4)より)
Sya
V yw = Sy Sa = 1a15x-14|5z
Sum =
Sxz
Tacl rx
xz
=
作
rxz (acz0)
ac sa fact √xe -rxz (acco)
D
日ここまでの証明を何も見ずに証明できるようになれば
見慣れない問題でも対応できるでしょう。
次ページに自作問題がありますので
チャレンジしてみて下さい
ページ9:
<解説>左から反番目の人の点数をxe,yeとする
[1] 数学の分散をS、英語の分散をSとする.
まずそれぞれの平均うと、gを求める。
文は40を仮平均として計算してみる。
X=40+0-8-2+5 =40+10=38
gは70を
"
g=70++50-10+14+11=70+2=74
98
==12+1+0+7+3=19.6(=
(x-x1)² = {( 2² + (-6)²+ 0² + 17²+33) = 19.66 ( = 25³)
=12・1・グリー72.4(362)
5
+
[2]今まで証明してきたようにやってみよう(まず人として一般化しても
(1)z=2x+yより、マー(2x+y=
g
(2) Syz = (4·2) - ÿ ⋅ Z
=(y-z)
=
5
=g(2x+g)-y(2x+y)
(1)より
= {2x² + 2(x-9)-(9)²
y²
5
・2(g)-(g)
• 2 ₤24½ + ½ -2(x5)-(9)
=2
5
-212-7) - 7.5}-((77)-(71)
=
=2Sxy+ Sy
+
=2.15+72.4 (◎条件よりSzy-15
[1]よりSy2=724)
m
良い)
=2・38+74=150
=102.4
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