Question

MARIO⛑💕

10秒以内ってよく分からないですが、お願いします。

重解になることがあらかじめ分かっていると, 方程式を解くのが楽に
なる. さらに言うと,方程式を作らなくても実数解を求めることができる.
(1) リーニッリー 4Z”二3Z十 10 のグラフを 〇とする. ヶニ1 の点における C

の接線 7が O と再び交わる点の座標を求めよ. ただし, 7 の方程式を

求めることなく, 10 秒以内に答えだけが分かる方法を考えよ.

(2②) =ダーgの十6十9 はみみ三2 で極小値-3 をとるという. 極小値と
同じヶ座標になるの 85 00o0 Oi 人
だし, co, らちの値喘       ]     <
を考えよ.

Answer 1

LUX SIT

10秒以内というのは暗算で解けるぐらいの問題ということでしょう.
***
x=1の点におけるCの接線ℓ: y=px+qがx=βの点で再び交わるとすれば, 交点のx座標を求める方程式
x^3-4x^2+3x+10=px+qは(x-1)^2(x-β)=0 とも書けるはずです.
[x=1における接線->(x-1)^2を因数に持つ. x=βで交わる->(x-β)を因数に持つ. x^3が1で一致.]
後はx^2の係数について比較すればよくて-4=-β-2⇔β=2[これは暗算で出来ると思います]と求まります.
x^1, x^0の項について比較するとp, qも求まります[ℓの方程式はβが決まってから求まる].
***
y=x^3-ax^2+bx+9がx=2で極小値-3をとる.
これはy=x^3-ax^2+bx+9とy=-3が2点で交わる. 特にx=2で接しているという状況です.
もう一つの交点のx座標をβとすると
{x^3-ax^2+bx+9}-(-3)=(x-2)^2(x-β) [考え方は上と同じです.]
と書けることが分かります.
定数項を比較すると12=-4β⇔β=-3と決まります[これも暗算で出来るでしょう].