Question

김 로한(キム)

今ふと疑問に思ったのですが、虚数には大小の概念が存在しないのに、どうして複素数平面では軸を取ることが出来るのでしょうか？
i<2iなどの証明は無いのにどうして2iをiよりも正の方向に書くことが出来るのでしょうか？

虚数 複素数 複素数平面 虚数の大小

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

うき

虚数単位に限らず、xもyもzも大小を定義することはできません。（例:x<2xは必ずしも成立するとは言えない。）

ここでポイントとなるのが2iや-3xについているような係数ですね（正確には係数ではない。）

この係数は原点からどれほど離れているかを表す値であり大小の概念を持つ実数です。

つまりI,2i,3i......は大小関係ではなく原点からどれほど離れているかを示すために並べられているものということです。

김 로한(キム)

なるほど、そのように考えると良いのですね。
すんなりと理解することが出来ました。
ありがとうございました。

うき

あまり厳密な定義ではありませんがそういうことになります。

お役に立てて何よりです。

Answer 2

Takahashi

正しいかどうかは、わかりませんが感覚的に…

数の大小は実数直線上での考えで、原点から左右に動く感じ。右に行けば、数は大きくなり、左に行けば、数は近くなる。レールの上を移動する感じかな？

そこから外れるのが虚数や複素数で、左右に動く実数直線から、上下に動くことで、少し話が複雑に。

例えば、複素数の大小を、原点からより右に、より上にある数を大とすると

2+3i と1+4i はどっちのほうが大きくなるの？という問題が発生。

あとは絶対値を比較という手もあるかもですが、実数の大小の考えとは合わない…などなど

まあ数学はどう定義するかで議論が進むので、虚数、複素数における数の大小で、こう定義するとうまくいく、便利、みたいなものがあれば、ひょっとすると新しい数学の世界が広がるのかもしれません

ちょっと抽象的なので、わかりにくいところあればコメントください

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＠bangmyung

김 로한(キム)

なるほど、要するにまだ需要が高まってないor現時点では発展が難しいため詳しく解明されていないのですね。
とても分かりやすい回答だったのですが、他の人のものの方が理解しやすかったのでそちらをベストアンサーにしたいと思います。
回答ありがとうございました。