(1)f(2) 2両のとき、少なくとも一方が赤色であれば良いので、
f(2)=全ての色分け3²-赤色を含まない色分け2²=5
f(3) 3両のとき、2両目が赤色であれば、3両目は何色でもよく、2両目が赤色以外であれば、3両目は赤色でなければならない。
よって、2両目が赤色になるのは、
1両目全色(3通り)×2両目(1通り)×3両目(3通り)=9通り
2両目が赤色以外になるのは
1両目赤色(1通り)×2両目(2通り)×3両目(1通り)=2通り
よって、f(3)=9+2=11
(2)n≧2でf(n+2)=f(n+1)+2f(n)…@とする。
n=2のとき、(1)と同様にして、
左辺=f(4)=3両目が赤色((3+2)×3)+3両目が赤色以外(6×1)=21
右辺f(3)+2f(2)=11+5×2=21
よって成り立つ。
n=k、k+1(k≧2)のとき@が成り立つと仮定すると、
f(k+2)=f(k+1)+2f(k)
n=k+1のとき、
左辺=f(k+3)=(k+2両目が赤色のとき)+ (k+2両目が赤色以外のとき)
={f(k+1)×1×3+ }+{f(k)×1×2}={f(k+1)+2f(k)}+2f(k+1)
=f(k+2)+2f(k+1)
右辺=f(k+2)+2f(k+1)
よって、n=k+1のときも成り立つ。
よってn≧2の全ての自然数nについて@は成り立つ。
こんな感じでしょうか？
１つ手前の車両が赤になるのはもう１つ手前までが条件を満たした並びである必要があります。赤以外になるには、もう１つ手前が赤色=さらに１つ手前までが条件を満たした並び方である必要があります。
n=k、k+1(k≧2)のとき@が成り立つと仮定すると、
は
n=k(k≧2)のとき@が成り立つと仮定すると、
に修正してください。
左辺=f(k+3)=(k+2両目が赤色のとき)+ (k+2両目が赤色以外のとき)
={f(k+1)×1×3+ }+{f(k)×1×2}={f(k+1)+2f(k)}+2f(k+1)
は
左辺=f(k+3)=(k+2両目が赤色のとき)+ (k+2両目が赤色以外のとき)
={f(k+1)×1×3}+{f(k)×1×2}={f(k+1)+2f(k)}+2f(k+1)
に修正してください。
雑な答案ですみませんでした。