✨ 最佳解答 ✨
a>0, b>0, x>0, y>0 -> 掛けても不等式の符号を変えません.
(x/a)<(y/b)
(1) ay-bx>0を示したい. このままだと与えられた不等式との関係が分かりにくいので移項します.
ay>bx⇔bx<ay 両辺をabで割ったものが(x/a)<(y/b)です. これで繋がりました[Back-solving].
逆方向から見ても論理的に破綻しない[同値関係の確認はとても重要です!]ので答案を作成できます.
x/a<y/bの両辺にab>0を掛けるとbx<ayである. 移項することによりay-bx>0を得る.
(2) x/a<(x+y)/(a+b)<y/bを示したい. 一度に証明するよりx/a<(x+y)/(a+b), (x+y)/(a+b)<y/bを別々に示す方がいいでしょう.
分母がa, (a+b), bと違うので揃える方向でいきます. つまりx/a=(a+b)x/(a+b)aと両辺に(a+b)を掛けてやります.
分子はbx<ayを利用して(a+b)x=ax+bx<ax+ay=a(x+y)が言えます. 分子と分母のaがキャンセルしあって所望の不等式が得られます.
bx<ayが成り立つので
x/a={(a+b)x}/{(a+b)a}=(ax+bx)/{a(a+b)}<(ax+ay)/{a(a+b)}={a(x+y)}/{a(a+b)=(x+y)/(a+b)
同様に
y/b={(a+b)y}/{b(a+b)}=(ay+by)/{b(a+b)}>(bx+by)/{b(a+b)}={b(x+y)}/{b(a+b)}=(x+y)/(a+b)
この二つの不等式をまとめるとx/a<(x+y)/(a+b)<y/bが得られる.
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(1)でやったBack-solvingでも解けます.
x/a<(x+y)/(a+b)⇔(a+b)x<a(x+y)⇔bx<ay
(x+y)/(a+b)<y/b⇔b(x+y)<(a+b)y⇔bx<ay
ただ不等式の解法としては最初に取り上げたやり方が自然です. 今はその理由がピンとこないかもしれません.
ただ数IIIの極限や積分を評価する不等式を自分で作る頃にはその意味が分かってくると思います.
ありがとうございます！