Question

あお

円周率πが無理数であることを用いて、次の命題を証明せよ
√πは無理数である

教えてください!!

命題 証明

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

Rya

背理法で示す。
√πが有理数であると仮定する。
√π＝n/m(m、nは互いに素な自然数)とおける。
両辺を2乗して
π＝n²/m²
しかし、πは無理数より、左辺は無理数であるが、右辺は有理数であるので矛盾する。
よって√πは無理数。

無理数の証明は背理法を使うことが多いです。(√2が無理数の証明など)

Rya

ちなみにπやe(自然対数の底)が無理数であることの証明はかなり難しいです。
ぜひ興味があれば調べてみてください！