成り立ちません。
tanθは周期πの周期関数で、例えば－π/２＜θ＜π/２の範囲で－∞から＋∞までの全ての実数値をとります。
ですから、質問者さんの設定された定義域においては、１以下になるという制限は誤りです。
質問の仕方から、「与えられた定義域全てで不等式が成り立つことを証明して欲しい。」という内容だと思いました。
tanをグラフに表すと写真のようになるので、多分こちらを見た方が分かり易いと思います。
え、あどういう風にして解けばいいですか？
写真のグラフで、ちょうどｙ軸上にtanθと書いてある辺りにθ軸と平行にｙ＝１の直線を引くと、その直線とグラフの交点は定義域内ではθ＝π/４, ５π/４となるので、グラフがそれよりも下に存在するようなθの範囲が答えです。
だから、０≦θ≦π/４とπ/２<θ≦５π/４と３π/２<θ<２πの三つの領域が解答になります。
グラフが上や下にどこまでも伸びていくので(漸近と呼ぶ)、θ＝π/２やθ＝３π/２ではtanθの値が定義されないことに注意してください。
それが理由で、そのθの値につく不等号には等号が含まれていません。
ありがとうございました
じゃあこれはなんですか？