Question

かなかな

（2）の解説で(k-m)の2乗がlの2乗になっているのですが、何でこの変形をしたのでしょうか。
また、この変形ってしてもいいのですか？

3 xy 平面において,x, yがともに整数であるとき,点(x, y) を格子点とよぶ。 mを正の
整数とするとき, 放物線y=x2-2mx+m²とx軸およびy軸によって囲まれた図形を
Dとする。
(1) Dの周上の格子点の数L をm で表せ。
Y2) D の周上および内部の格子点の数 T をm で表せ。
3)
T
m
Dの面積をSm とする。 lim " を求めよ。
→00 S

3 解答 (1) Lm=m2+2m (2)T= (m+1)(2m²+m+6)
(解説)
(1)y=(x-m)2
6
mは正の整数であるから, 図形Dは右の図の斜線部
分となる。 ただし, 境界線を含む。
Dの周上の格子点のうち, x軸上にあるものは
(k, 0) (k=0, 1, ......, m) で, (m+1) 個ある。
軸上にあるものは
(0,k) (k=0,1, ......, m²) で, (m2+1)個ある。
放物線上にあるものは
(k, (k-m)2)(k=0, 1, ....... m) で, (m+1) 個ある。
よって,Dの周上の格子点の数 L は, 重複に注意して
Lm=(m+1)+(m²+1)+(m+1)-3=m²+2m
(3)1
m2
y=(x-m)2
x
m
(2) Dの格子点のうち直線x=k(k=0, 1, ••••••, m) 上にあるものは{(k-m)'+1} 個
ある。
よって, Dの周上および内部の格子点の数 Tm は
m
37
Tm=Σ{k-m)?+1}=Σ(12+1)=21+M1
=
k=0
1
1=0
l=1
1=0
1m(m+1)2m+1)+(m+1)=/22( (m+1)(2m²+m+6)

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

らい

もちろん(k-m)^2を展開して計算してもいいですが、
具体的にk=0,1,・・・,mを代入してみると
m^2+(m-1)^2+・・・+1+0のようになるので、
結果的にl=1,2,・・・mのl^2と同じになります。

かなかな

ありがとうございます