△IBC において
x=180°-(∠IB
(3) AH と BC の交点をD, CHAB の交点をE
Hは△ABCの垂心であるから
△ABD において
∠ADB= ∠BEC =90°
x=180°(∠ADB+∠BAD) = 43°
△AEH において、外角の性質より
470
s
y = ∠HEA + ∠HAE = 90°+47° = 137
B
練習 252 AB = c, BC = 4, CA = 6 である △ABCの内心を I, 外心を0とする。
(2) Aから辺BCに下ろした垂線とBCの交点をHとする。 AOAH を求めよ
(1) 直線 AI と辺BCの交点をDとする。 AI: ID を求めよ。
(1)△ABCにおいて, AD は ∠Aの二等分線であるから
BD:DC=AB:AC=c:6
また, BC = a より
ac
BD =
C BC=
b+c
b+c
次に, △BAD において
BI は∠Bの二等分線であるから
AI:ID=BA:BD=c:
ac
b+c
=(b+c):a
(2) 0から辺ABに下ろした垂線と AB の
交点をMとする。
角の二等分線と比のお
CABADに着目して、
二等分線と比の定理を
用する。
M
0 は △ABCの外心より OA=OB であ
るから, M は ABの中点であり
[h
B
H
C
AM=BM =
2
∠AOM = ∠BOM
次に、円周角の定理により
∠AOB = 2∠ACB
①②より ∠AOM = ∠ACB
△AMO と △AHCにおいて,
...
・③
③ および ∠AMO= ∠AHC=90° より
△AMO∽△AHC
ゆえに AO:AC = AM:AH
したがって AO・AH = AM·AC = bc0
(別解〕(三角比を用いる)
201
C
●二等辺三角形の頂角かに
底辺に下ろした垂線は
頂角を2等分する。
AM=6,AC=
AH = csin B
④
正弦定理により
b
2A0 =
==
・⑤
④ ⑤より
AO.AH=
sin B
b
AOは△ABCの
の半径である。
bc
•csin B =
=
2sin B
2
練習 253 △ABCの∠Aに対する傍心Jを通り, BC に平行な直線が AB AC の延長と交わる点
ぞれD,Eとするとき, BD+CE DF
